To be continued==Процесс Каратеодори==Забавно: <tex>m, \mathcal{R} \to \mu^* \to \mu, \mathcal{A} \to \nu^*</tex> Построим <tex>\nu^*</tex> {{---}} внешняя мера для <tex>\mu, \mathcal{A}</tex> (<tex>\sigma</tex>-алгебра {{---}} частный случай полукольца).Возникает вопрос: "Построили ли мы что-то новое?" {{Теорема|statement=<tex>\mu^*=\nu^*</tex> (повторное применение процесса Каратеодори к новому распространению не приводит)|proof=<tex>\mu^*</tex> строилось на базе покрытий из <tex>\mathcal{R}</tex>, <tex>\mathcal{R} \in \mathcal{A}</tex> <tex>\nu^*</tex> строится на базе покрытий из <tex>\mathcal{A}</tex>.Это значит, что покрытий стало больше, то есть,<tex>\forall E \subset X : \nu^* E \leq \mu^* E</tex> Осталось доказать, что <tex>\mu^* E \leq \nu^* E</tex> Если новая мера бесконечна, то неравенство очевидно.Пусть тогда она конечна. Раз она порождена <tex>\mu</tex>, <tex>\forall \varepsilon\exists</tex> система измеримых множеств <tex>B_1, B_2, \ldots, B_n, \ldots \in \mathcal{A}</tex>, <tex>E\subset\bigcup\limits_nB_n</tex>, <tex>\sum\limits_n\mu B_n < \nu^*E+\varepsilon</tex> В частности, <tex>\forall n : \mu B_n < +\infty</tex> Но <tex>\mu B_n = \mu^* B_n</tex>, и, раз она конечна и порождена мерой <tex>m</tex>, то <tex>\exists A_{n_1}, A_{n_2}, \ldots, A_{n_j}, \ldots \in \mathcal{R} : \sum\limits_jmA_{n_j} < \mu B_n + \frac\varepsilon{2^n}</tex>, <tex>B_n \subset \bigcup\limits_j A_{n_j}</tex> Отсюда, в частности, получается, что <tex>E \subset \bigcup\limits_n B_n \subset \bigcup\limits_n \bigcup\limits_j A_{nj}</tex> <tex>\sum\limits_n\mu B_n < \nu^*E + \varepsilon</tex>. Заменяя каждое слагаемое ряда меньшей величиной, <tex>\sum\limits_n\left(\sum\limits_jmA_{nj} - \frac\varepsilon{2^n} \right) < \nu^* E + \varepsilon</tex> <tex>\sum\limits_n\sum\limits_j mA_{nj} < \nu^* E + 2\varepsilon</tex> <tex>E \subset \bigcup\limits_n\bigcup\limits_j A_{nj}</tex>, <tex>\mu^*E \leq \sum\limits_n\sum\limits_j mA_{nj}</tex> (по определению <tex>\mu^*</tex>). Сопоставляя с предыдущим неравенством, <tex>mu^*E < \nu^* E + 2\varepsilon</tex> Устремляя <tex>\varepsilon</tex> к нулю, побеждаем.}}
