403
правки
Изменения
прочитать, исправить, структурировать
{{В разработке}}
{{TODO|t=ВАКАНСИЯ: ВНИМАТЕЛЬНЫЙ ЧИТАТЕЛЬ. НУЖЕН, ЧТОБЫ ОЗНАКОМИТЬСЯ С ЭТИМ ТЕКСТОМ И ИСПРАВИТЬ КОСЯКИ}}
{{TODO|t=Achtung! Тут немного пропущено}}
... Используя ту же технику,
<tex>f</tex> {{---}} измерима на <tex>E</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>E</tex> {{---}} тоже измеримо, <tex>E = \bigcup\limits_{n=1}^\infty E(f < n)</tex>
Приведём примеры измеримых функций:
<tex>f(x) = C</tex> на <tex>E</tex>.
<tex>E(f<a) = \left\{
\begin{aligned}
E &, C < a \\
\varnothing &, C \geq a
\end{aligned}
\right.
</tex>
Поэтому, считая <tex>E</tex> измеримым, получаем, что постоянная функция на нём измерима.
Всё это распространяется на <tex>E = \bigcup\limits_p E_p</tex>, <tex>E_p \in \mathcal{A}</tex>
Аналогично измерима на <tex>E</tex>, <tex>f : E \to \mathcal{R}</tex>, <tex>f(x) = a_p, x\in E_p</tex>.
{{Утверждение
|statement=Пусть <tex>F \subset \mathbb{R}^n</tex> {{---}} замкнутое множество, в <tex>\mathbb{R}^n</tex> есть мера <tex>\lambda</tex>. Тогда непрерывная функция <tex>f : F \to \mathbb{R}</tex> {{---}} измерима.
|proof=Установим измеримость <tex>F(f\leq a)</tex>.
Проверим, что оно замкнуто <tex>\Rightarrow</tex> измеримо.
<tex>\bar x_j \in F(f\leq a)</tex>, <tex>f(\bar x_j) \leq a</tex>, <tex>\bar x_j \to \bar x</tex>, <tex>\bar x_j \in</tex> замкнутое <tex>F</tex>. Значит, предел тоже в <tex>F</tex>. Значит, по непрерывности, <tex>f(\bar x_j) \to f(\bar x)</tex>
Значит, <tex>f(\bar x)\leq a \Rightarrow \bar x \in F(f\leq a)</tex>.
Множество содержит в себе пределы всех сходящихся подпоследовательностей <tex>\Rightarrow</tex> замкнуто. Но замкнутые множества измеримы по Лебегу.
}}
Вывод: класс непрерывных функций содержится в классе измеримых.
Следует обратить внимание, что столь простые рассуждения проходят по той причине, что мы не интересуемся тем, как устроены множества Лебега. Нас интересует только одно их свойство {{---}} принадлежность <tex>\mathcal{A}</tex>. Природа этих множеств может быть крайне сложной.
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>f</tex> и <tex>g</tex> измеримы на <tex>E</tex>. Тогда
1 <tex>|f|</tex> {{---}} измерима
1.5 <tex>af</tex> {{---}} измеримо (<tex>a \in \mathbb{R}</tex>)
2 <tex>f^2</tex> {{---}} измеримо
4 <tex>fg</tex> {{---}} измеримо
3 <tex>f + g</tex> {{---}} измеримо
|proof=Пункт 4 вытекает из прошлых: <tex>fg = \frac{(f+g)^2 - (f-g)^2}{4}</tex>
1 и 2 доказываются одинаково. Например,
<tex>E(f^2<a)</tex>. При <tex>a\geq 0</tex> оно может быть непустым. Но это равносильно <tex>E(-\sqrt{a} < k < \sqrt{a}) = E(-\sqrt{a} < x) \cap E(x<\sqrt{a})</tex>
Это пересечение двух измеримых множеств Лебега <tex>\Rightarrow</tex> измеримо.
Пункт 3 доказывать чуть сложнее
<tex>f(x) + g(x) > a \iff g(x) > a - f(x)</tex>
Базируясь на том,что <tex>\mathbb{Q}</tex> всюду плотно на оси, <tex>\exists r \in \mathbb{Q} : g(x) > r > a - f(x)</tex>
Тогда <tex>E(f + g>a) = \bigcup\limits_{r\in\mathbb{Q}}(E(g>r) \cap E(f > a - r))</tex>
Справа измеримое множество Лебега функций <tex>f</tex> и <tex>g</tex>. Операций счётно. Значит, <tex>f+g</tex> тоже измеримо
}}
{{TODO|t=ВАКАНСИЯ: ВНИМАТЕЛЬНЫЙ ЧИТАТЕЛЬ. НУЖЕН, ЧТОБЫ ОЗНАКОМИТЬСЯ С ЭТИМ ТЕКСТОМ И ИСПРАВИТЬ КОСЯКИ}}
{{TODO|t=Achtung! Тут немного пропущено}}
... Используя ту же технику,
<tex>f</tex> {{---}} измерима на <tex>E</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>E</tex> {{---}} тоже измеримо, <tex>E = \bigcup\limits_{n=1}^\infty E(f < n)</tex>
Приведём примеры измеримых функций:
<tex>f(x) = C</tex> на <tex>E</tex>.
<tex>E(f<a) = \left\{
\begin{aligned}
E &, C < a \\
\varnothing &, C \geq a
\end{aligned}
\right.
</tex>
Поэтому, считая <tex>E</tex> измеримым, получаем, что постоянная функция на нём измерима.
Всё это распространяется на <tex>E = \bigcup\limits_p E_p</tex>, <tex>E_p \in \mathcal{A}</tex>
Аналогично измерима на <tex>E</tex>, <tex>f : E \to \mathcal{R}</tex>, <tex>f(x) = a_p, x\in E_p</tex>.
{{Утверждение
|statement=Пусть <tex>F \subset \mathbb{R}^n</tex> {{---}} замкнутое множество, в <tex>\mathbb{R}^n</tex> есть мера <tex>\lambda</tex>. Тогда непрерывная функция <tex>f : F \to \mathbb{R}</tex> {{---}} измерима.
|proof=Установим измеримость <tex>F(f\leq a)</tex>.
Проверим, что оно замкнуто <tex>\Rightarrow</tex> измеримо.
<tex>\bar x_j \in F(f\leq a)</tex>, <tex>f(\bar x_j) \leq a</tex>, <tex>\bar x_j \to \bar x</tex>, <tex>\bar x_j \in</tex> замкнутое <tex>F</tex>. Значит, предел тоже в <tex>F</tex>. Значит, по непрерывности, <tex>f(\bar x_j) \to f(\bar x)</tex>
Значит, <tex>f(\bar x)\leq a \Rightarrow \bar x \in F(f\leq a)</tex>.
Множество содержит в себе пределы всех сходящихся подпоследовательностей <tex>\Rightarrow</tex> замкнуто. Но замкнутые множества измеримы по Лебегу.
}}
Вывод: класс непрерывных функций содержится в классе измеримых.
Следует обратить внимание, что столь простые рассуждения проходят по той причине, что мы не интересуемся тем, как устроены множества Лебега. Нас интересует только одно их свойство {{---}} принадлежность <tex>\mathcal{A}</tex>. Природа этих множеств может быть крайне сложной.
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>f</tex> и <tex>g</tex> измеримы на <tex>E</tex>. Тогда
1 <tex>|f|</tex> {{---}} измерима
1.5 <tex>af</tex> {{---}} измеримо (<tex>a \in \mathbb{R}</tex>)
2 <tex>f^2</tex> {{---}} измеримо
4 <tex>fg</tex> {{---}} измеримо
3 <tex>f + g</tex> {{---}} измеримо
|proof=Пункт 4 вытекает из прошлых: <tex>fg = \frac{(f+g)^2 - (f-g)^2}{4}</tex>
1 и 2 доказываются одинаково. Например,
<tex>E(f^2<a)</tex>. При <tex>a\geq 0</tex> оно может быть непустым. Но это равносильно <tex>E(-\sqrt{a} < k < \sqrt{a}) = E(-\sqrt{a} < x) \cap E(x<\sqrt{a})</tex>
Это пересечение двух измеримых множеств Лебега <tex>\Rightarrow</tex> измеримо.
Пункт 3 доказывать чуть сложнее
<tex>f(x) + g(x) > a \iff g(x) > a - f(x)</tex>
Базируясь на том,что <tex>\mathbb{Q}</tex> всюду плотно на оси, <tex>\exists r \in \mathbb{Q} : g(x) > r > a - f(x)</tex>
Тогда <tex>E(f + g>a) = \bigcup\limits_{r\in\mathbb{Q}}(E(g>r) \cap E(f > a - r))</tex>
Справа измеримое множество Лебега функций <tex>f</tex> и <tex>g</tex>. Операций счётно. Значит, <tex>f+g</tex> тоже измеримо
}}
