403
правки
Изменения
прочитать, исправить, структурировать
{{В разработке}}
{{TODO|t=ВАКАНСИЯ: ВНИМАТЕЛЬНЫЙ ЧИТАТЕЛЬ. НУЖЕН, ЧТОБЫ ОЗНАКОМИТЬСЯ С ЭТИМ ТЕКСТОМ И ИСПРАВИТЬ КОСЯКИ}}
Функции <tex>f_n, f</tex> {{---}} измеримы на <tex>E</tex>, <tex>E(|f_n - f| \geq \delta)</tex>, <tex>\delta > 0</tex>. Это измеримые множества.
{{Определение
|definition=<tex>f_n</tex> стремятся по мере на <tex>E</tex> к <tex>f</tex> (<tex>f_n\stackrel{[E]}{\Rightarrow} f</tex>), если <tex>\forall\delta>0 : \mu E(|f_n - f| \geq \delta) \xrightarrow[n\to\infty]{} 0</tex>
}}
В определённом смысле, это наиболее слабый вид сходимости, что подтверждает следующая классическая теорема Лебега.
==Теорема Лебега==
{{Теорема
|author=Лебег
|statement=<tex>\mu E<+\infty</tex>, <tex>f_n\to f</tex> почти всюду на <tex>E</tex>. Тогда <tex>f_n\stackrel{E}{\Rightarrow} +\infty</tex>. При этом, <tex>\mu E<+\infty</tex> {{---}} существенно
|proof=
Продемонстрируем, что условие конечности меры важно
{{Утверждение
|statement=<tex>\mu E <+\infty</tex> {{---}} существенно
|proof=Рассмотрим функции <tex>f_n(x)=\begin{cases}0 &, 0 \leq x < n\\1 &, x\geq n\end{cases}</tex>, <tex>E = \mathbb{R}^+</tex>.
Фиксируем <tex>x</tex>. <tex>n\to \infty</tex>, <tex>\exists N : n > x \Rightarrow f_n(x) = 0</tex>. Значит, <tex>f_n(x) \to 0</tex> всюду на <tex>\mathbb{R}^+</tex>. <tex>\lambda(\mathbb{R^+}) = +\infty</tex>
<tex>\delta=\frac12</tex>, <tex>E(|f_n - f|\geq \delta) = \mathbb{R}^+(|f_n(x)| \geq \frac12) = [n; +\infty)</tex>
Значит, <tex>\lambda E(|f_n-f|\geq \delta) = +\infty</tex>
Значит, <tex>f_n \not\Rightarrow 0</tex>, хотя стремится к <tex>0</tex> почти всюду.
}}
<tex>E'=\bigcup\limits_{p=1}^\infty \bigcap\limits_{m=1}^\infty \bigcup\limits_{n=m}^\infty E(|f_n - f| \geq \frac1p)</tex>
По условию теоремы, <tex>\mu E' = 0</tex>
<tex>\forall p=1, 2, \ldots : \bigcap\limits_{m=1}^\infty \bigcap\limits_{n=m}^\infty (...)</tex>, очевидно, содержится в <tex>E'</tex>
Отсюда, по полноте меры, <tex>\mu \bigcap\limits_{m=1}^\infty \bigcap\limits_{n=m}^\infty (...) = 0</tex>
<tex>B_m = \bigcup\limits_{n=m}^\infty E(|f_n - f| \geq \frac1p) \supset B_{m+1}</tex>
По монотонности меры, <tex>\mu B_i</tex> {{---}} убывающая числовая последовательность.Значит, у неё есть предел. Покажем, что это <tex>0</tex>. Или, более общий факт: <tex>\mu B_m \to \mu \bigcap\limits_{n=1}^\infty B_n = 0</tex>
Для этого воспользуемся тем, что <tex>\sup \mu E</tex> {{---}} конечен.
<tex>B = \bigcap\limits_{m=1}^\infty B_m</tex>
<tex>\bar B = \bigcup\limits_{m=1}^\infty \bar B_m</tex>, <tex>B_m</tex> {{---}} убывающая (<tex>B_m \supset B_{m+1}</tex>), значит, дополнения растут: <tex>\bar B_m \subset \bar B_{m+1}</tex>.
Значит, <tex>\bar B = \bar B_1 \cup (\bar B_2 \setminus \bar B_1) \cup (\bar B_3 \setminus \bar B_2) \ cup \ldots</tex>.
<tex>\bar B \subset E</tex>. Значит, <tex>\mu B \leq \mu E < +\infty</tex>.
По <tex>\sigma</tex>-аддитивности, <tex>\mu\bar B = \mu\bar B_1 + \mu(\bar B_2 \setminus\bar B_1) + \mu(\bar B_3 \setminus \bar B_2) + \cdots</tex>.
В силу конечности <tex>\mu E</tex>, <tex>\mu(\bar B_2 \setminus \bar B_1) = \mu \bar B_2 - \mu \bar B_1</tex>
Вставляя это в ряд и вспоминая, что ряд {{---}} предел частичных сумм, получаем
<tex>\mu\bar B = \mu\bar B_1 - \mu \bar B_1 + \mu\bar B_2 - \mu \bar B_3 + \mu\bar B_3 - \cdots</tex>
<tex>\mu B_m = \mu E - \mu \bar B_m</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\mu B = \mu E - \mu \bar B</tex>
Значит, <tex>\mu B_m \to \mu B</tex>
В нашем случае <tex>\mu B =0</tex>
<tex>\forall p : \mu \bigcup\limits_{n=m}^\infty E(|f_n - f| \geq \frac1p) \to 0</tex>
<tex>\forall \delta > 0\ \exists p_0 \in \mathbb{N} : \frac1{p_0} \leq \delta</tex>
<tex>E(|f_m - f| \geq \delta) \subset E(|f_m-f|\geq \frac1{p_0}) \to 0</tex>
Значит, <tex>f_n \stackrel{E}{\rightarrow} f</tex>
}}
{{TODO|t=ВАКАНСИЯ: ВНИМАТЕЛЬНЫЙ ЧИТАТЕЛЬ. НУЖЕН, ЧТОБЫ ОЗНАКОМИТЬСЯ С ЭТИМ ТЕКСТОМ И ИСПРАВИТЬ КОСЯКИ}}
Функции <tex>f_n, f</tex> {{---}} измеримы на <tex>E</tex>, <tex>E(|f_n - f| \geq \delta)</tex>, <tex>\delta > 0</tex>. Это измеримые множества.
{{Определение
|definition=<tex>f_n</tex> стремятся по мере на <tex>E</tex> к <tex>f</tex> (<tex>f_n\stackrel{[E]}{\Rightarrow} f</tex>), если <tex>\forall\delta>0 : \mu E(|f_n - f| \geq \delta) \xrightarrow[n\to\infty]{} 0</tex>
}}
В определённом смысле, это наиболее слабый вид сходимости, что подтверждает следующая классическая теорема Лебега.
==Теорема Лебега==
{{Теорема
|author=Лебег
|statement=<tex>\mu E<+\infty</tex>, <tex>f_n\to f</tex> почти всюду на <tex>E</tex>. Тогда <tex>f_n\stackrel{E}{\Rightarrow} +\infty</tex>. При этом, <tex>\mu E<+\infty</tex> {{---}} существенно
|proof=
Продемонстрируем, что условие конечности меры важно
{{Утверждение
|statement=<tex>\mu E <+\infty</tex> {{---}} существенно
|proof=Рассмотрим функции <tex>f_n(x)=\begin{cases}0 &, 0 \leq x < n\\1 &, x\geq n\end{cases}</tex>, <tex>E = \mathbb{R}^+</tex>.
Фиксируем <tex>x</tex>. <tex>n\to \infty</tex>, <tex>\exists N : n > x \Rightarrow f_n(x) = 0</tex>. Значит, <tex>f_n(x) \to 0</tex> всюду на <tex>\mathbb{R}^+</tex>. <tex>\lambda(\mathbb{R^+}) = +\infty</tex>
<tex>\delta=\frac12</tex>, <tex>E(|f_n - f|\geq \delta) = \mathbb{R}^+(|f_n(x)| \geq \frac12) = [n; +\infty)</tex>
Значит, <tex>\lambda E(|f_n-f|\geq \delta) = +\infty</tex>
Значит, <tex>f_n \not\Rightarrow 0</tex>, хотя стремится к <tex>0</tex> почти всюду.
}}
<tex>E'=\bigcup\limits_{p=1}^\infty \bigcap\limits_{m=1}^\infty \bigcup\limits_{n=m}^\infty E(|f_n - f| \geq \frac1p)</tex>
По условию теоремы, <tex>\mu E' = 0</tex>
<tex>\forall p=1, 2, \ldots : \bigcap\limits_{m=1}^\infty \bigcap\limits_{n=m}^\infty (...)</tex>, очевидно, содержится в <tex>E'</tex>
Отсюда, по полноте меры, <tex>\mu \bigcap\limits_{m=1}^\infty \bigcap\limits_{n=m}^\infty (...) = 0</tex>
<tex>B_m = \bigcup\limits_{n=m}^\infty E(|f_n - f| \geq \frac1p) \supset B_{m+1}</tex>
По монотонности меры, <tex>\mu B_i</tex> {{---}} убывающая числовая последовательность.Значит, у неё есть предел. Покажем, что это <tex>0</tex>. Или, более общий факт: <tex>\mu B_m \to \mu \bigcap\limits_{n=1}^\infty B_n = 0</tex>
Для этого воспользуемся тем, что <tex>\sup \mu E</tex> {{---}} конечен.
<tex>B = \bigcap\limits_{m=1}^\infty B_m</tex>
<tex>\bar B = \bigcup\limits_{m=1}^\infty \bar B_m</tex>, <tex>B_m</tex> {{---}} убывающая (<tex>B_m \supset B_{m+1}</tex>), значит, дополнения растут: <tex>\bar B_m \subset \bar B_{m+1}</tex>.
Значит, <tex>\bar B = \bar B_1 \cup (\bar B_2 \setminus \bar B_1) \cup (\bar B_3 \setminus \bar B_2) \ cup \ldots</tex>.
<tex>\bar B \subset E</tex>. Значит, <tex>\mu B \leq \mu E < +\infty</tex>.
По <tex>\sigma</tex>-аддитивности, <tex>\mu\bar B = \mu\bar B_1 + \mu(\bar B_2 \setminus\bar B_1) + \mu(\bar B_3 \setminus \bar B_2) + \cdots</tex>.
В силу конечности <tex>\mu E</tex>, <tex>\mu(\bar B_2 \setminus \bar B_1) = \mu \bar B_2 - \mu \bar B_1</tex>
Вставляя это в ряд и вспоминая, что ряд {{---}} предел частичных сумм, получаем
<tex>\mu\bar B = \mu\bar B_1 - \mu \bar B_1 + \mu\bar B_2 - \mu \bar B_3 + \mu\bar B_3 - \cdots</tex>
<tex>\mu B_m = \mu E - \mu \bar B_m</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\mu B = \mu E - \mu \bar B</tex>
Значит, <tex>\mu B_m \to \mu B</tex>
В нашем случае <tex>\mu B =0</tex>
<tex>\forall p : \mu \bigcup\limits_{n=m}^\infty E(|f_n - f| \geq \frac1p) \to 0</tex>
<tex>\forall \delta > 0\ \exists p_0 \in \mathbb{N} : \frac1{p_0} \leq \delta</tex>
<tex>E(|f_m - f| \geq \delta) \subset E(|f_m-f|\geq \frac1{p_0}) \to 0</tex>
Значит, <tex>f_n \stackrel{E}{\rightarrow} f</tex>
}}
