Изменения

Пусть <tex>A \underset{G'}{\Rightarrow}^*w</tex>&nbsp; и&nbsp; <tex>w \ne \varepsilon</tex>.<br/>

Докажем индукцией по длине порождения, что <tex>A \underset{G}{\Rightarrow}^*w</tex>.<br/>

В этом случае в <tex>G'</tex> есть правило <tex>A \rightarrow w</tex>. Согласно конструкции <tex>G'</tex> в <tex>G</tex> есть правило <tex>A \rightarrow \alpha</tex>, причем <tex>\alpha</tex> — цепочка <tex>w</tex>, символы которой, возможно, перемежаются <tex>\varepsilon</tex>-порождающими нетерминалами. Тогда в <tex>G</tex> есть порождения <tex>A \underset{G}{\Rightarrow} \alpha \underset{G}{\Rightarrow}w</tex>.<br/>

Пусть в порождении <tex>n</tex> шагов, <tex>n > 1</tex>. Тогда оно имеет вид <tex>A\underset{G'}{\Rightarrow}X_1 X_2...X_k

\underset{G'}{\Rightarrow}^*w</tex>, где <tex>X_i \in N \cup \Sigma </tex>. Первое использованное правило должно быть построено по правилу <tex>A \rightarrow Y_1 Y_2...Y_m</tex>, где цепочка <tex>Y_1 Y_2...Y_m</tex> совпадает с цепочкой <tex>X_1 X_2...X_k</tex>, цепочка <tex>Y_1 Y_2...Y_m</tex>, возможно, перемежаются <tex>\varepsilon</tex>-порождающими нетерминалами.<br/>

Пусть <tex>A \underset{G}{\Rightarrow}^*w</tex>&nbsp; и&nbsp; <tex>w \ne \varepsilon</tex>.<br/>

Докажем индукцией по длине порождения, что <tex>A \underset{G'}{\Rightarrow}^*w</tex>.<br/>

<tex>A \rightarrow w</tex> является правилом в <tex>G</tex>. Поскольку <tex>w \ne \varepsilon</tex>, это же правило будет и в <tex>G'</tex>, поэтому <tex>A \underset{G'}{\Rightarrow}^*w</tex>.

\underset{G}{\Rightarrow}^*w</tex>, где <tex>Y_i \in N \cup \Sigma </tex>. Цепочку <tex>w</tex> можно разбить на <tex>w_1 w_2...w_m</tex>, где <tex>Y_i \underset{G'}{\Rightarrow}^*w_i</tex>.<br/>

Пусть <tex>X_1, X_2, ... X_k</tex> будут теми из <tex>Y_j</tex> (в порядке записи), для которых <tex>w_i \ne \varepsilon</tex>. <tex>k \ge 1</tex>, поскольку <tex>w \ne \varepsilon</tex>.<br/> Таким образом <tex>A \rightarrow X_1 X_2 ... X_k</tex> является правилом в <tex>G'</tex> по построению <tex>G'</tex>.