Изменения

Это верно для любого надрезa <tex> R </tex>, следовательно <tex> R_i \subset Reg'</tex>. Это выполнено для любого <tex> R_i </tex>, значит <tex> \bigcup\limits_{i=0}^{\infty}R_i \subset Reg' </tex>.

Докажем, что <tex> Reg </tex> является надрезом. Для этого проверим, выполняются ли свойства надреза на немнём:

# <tex> R_0 \subset Reg </tex> {{---}} выполнено (следует из определения по определению <tex> Reg </tex>).# Рассмотрим <tex> L_1, L_2 \in Reg </tex>. Так как <tex>Reg = \bigcup\limits_{i=0}^{\infty}R_i</tex> , то <tex> \exists i </tex>, что <tex> : L_1\in R_i </tex> и <tex> \exists j </tex> , что <tex> : L_2 \in R_j </tex>. Тогда из определения <tex> Reg </tex>, следует, что <tex> L_1L_2 \in R_{max(i, j)+1}, L_1 \cup L_2\in R_{max(i, j)+1}, L_1^* \in R_{i + 1}</tex>. Так как <tex>Reg = \bigcup\limits_{i=0}^{\infty}R_i</tex>, то получаем, что <tex> L_1L_2 \in Reg, L_1 \cup L_2\in Reg, L_1^* \in Reg </tex>. Следовательно , второе свойство также выполнено.