Изменения
Нет описания правки
* Вычисления бесконечных сумм.
== Примеры производящих функций ==
Рассмотрим производящие функции для различных комбинаторных последовательностей:
* <tex>\prod_{n=1}^\infty (1-x^n)</tex> {{---}} производящая функция для разности количества разбиений числа n в четное и нечетное число различных слагаемых. Например коэффициент при <tex>x^5</tex> {{---}} +1, потому-что существует два разбиение на четное число различных слагаемых (4+1; 3+2) и одно на нечетное (5). Правильность этого легко осознать, если понять, что каждая скобка представляет какое-то слагаемое и мы можем его взять (второе слагаемое {{---}} <tex>-x^k</tex>) или не взять (первое {{---}} 1). Эта производящая функция используется в комбинаторном доказательстве пентагональной теоремы.
<tex>=\frac{1}{1-x}\frac{1}{1-x^3}\frac{1}{1-x^5}...=\prod_{n=1}^\infty (1+x^{2n-1})</tex>
Метод производящих функций также используется для нахождения математического ожидания и дисперсии различных распределений в теории вероятности. Например в геометрическом распределении (p - вероятность благоприятного исхода, q=p-1) для нахождения дисперсии <tex>D(\xi)=E(\xi^2)-(E(\xi))^2<\tex> нужно находить суммы:
== Решение рекуррентных соотношений ==
