403
правки
Изменения
~25% complete
<tex>\mu E(|f_n - f_m| \geq \delta) \leq \mu E(|f_n - f| \geq \frac{\delta}{3})(\rightarrow 0) + E(|f_m - f| \geq \frac{\delta}{3})(\rightarrow 0)</tex>
(т.е. из сходимости по мере вытекает сходимость по мере в себе)
Возьмём <tex>\forall \varepsilon_k > 0, \sum\limits_{k = 1}^\infty \varepsilon_k < +\infty</tex>. Например, <tex>\varepsilon_k = \frac{1}{2^k}</tex>.
В силу условия леммы, <tex>\forall \varepsilon_k\ \exists n_1\ forall n, m > n_1 : \mu E(|f_n - f_m| \geq \varepsilon_1) < \varepsilon_1</tex>
<tex>m = n_1</tex>, <tex>\forall n \geq m</tex>
<tex>\varepsilon_2 : \exists n_2 > n_1\ \forall n > n_2 : \mu E(|f_n - f_{n_2}| \geq \varepsilon_2) < \varepsilon_2</tex>
Раз <tex>n_2 > n_1</tex>, <tex>\mu E(|f_{n_2} - f_{n_1}| \geq \varepsilon_1) < \varepsilon_1</tex> (По выбору <tex>n_1</tex>)
<tex>\varepsilon_3 : \exists n_3 > n_2\ \forall n > n_3 : \mu E(|f_n - f_{n_3}| \geq \varepsilon_3) < \varepsilon_3</tex>
Раз <tex>n_3 > n_2</tex>, <tex>\mu E(|f_{n_3} - f_{n_2}| \geq \varepsilon_2) < \varepsilon_2</tex>
Продолжаем по индукции <tex>n_1 < n_2 < n_3 < \cdots</tex>:
<tex>\mu E(|f_{n_{k + 1}} - f_{n_k}| \geq \varepsilon_k) < \varepsilon_k</tex>
<tex>B_k = \bigcup\limits_{j=k}^\infty E(|f_{n_{j + 1}} - f_{n_j}| \geq \varepsilon_j)</tex>
<tex>\mu B_k \leq \sum\limits_{j=k}^\infty \mu E(|f_{n_{j + 1}} - f_{n_j}| \geq \varepsilon_j) < \sum\limits_{j = k}^\infty \varepsilon_j \o 0</tex> как остаток сходящегося положительного ряда <tex>\varepsilon_k</tex>.
<tex>B = \bigcap\limits_{k=1}^\infty B_k</tex>, <tex>B \subset B_k</tex>, по монотонности меры, <tex>\mu B \leq \mu B_k \to 0</tex>. Значит, <tex>\mu B = 0</tex>.
<tex>B</tex> {{---}} нульмерное множество. Рассмотрим <tex>A = E \setminus B</tex> и установим, что на этом множестве последовательность функций <tex>\{f_{n_k}\}</tex> сходится. А тогда, в силу нульмерности <tex>B</tex>, что она сходится на <tex>E</tex> уже почти всюду.
<tex>A = \bar B = \bigcap\limits_{k=1}^\infty \bar B_k</tex>
<tex>x \in A : \exists k_x : x \in \bar B_{k_x}</tex>
<tex>\bar B_{k_x} = \bigcap\limits_{j=k_x}^\infty E(|f_{n_{j + 1}} - f_{n_j} < \varepsilon_j|)</tex>
Раз <tex>x \in \bar B_{k_x}</tex>, <tex>\forall j \geq k_x : |f_{n_{j + 1}}(x) - f_{n_j}(x)| < \varepsilon_j</tex>
<tex>f_{n_1}(x) + \sum\limits_{j = 1}^\infty(f_{n_{j + 1}}(x) - f_{n_j}(x))</tex>
Для заданного <tex>x</tex> начиная с <tex>j = k</tex>, <tex>|f_{n_{j + 1}}(x) - f_{n_j}(x) | </tex> начнут мажорироваться сходящимся рядом <tex>\varepsilon_k</tex>. Тогда этот ряд сходится. Значит, <tex>\forall x\leq A</tex> функциональная последовательность сходится.
}}
