Изменения
Нет описания правки
Существует целый класс последовательностей, задаваемых рекуррентным соотношением, например, <tex>f_n</tex> {{---}} числа Фибоначчи или <tex>C_n</tex> {{---}} числа Каталана. Метод производящих функций позволяет получить выражение для <tex>a_n</tex> через номер элемента в последовательности в замкнутом виде, то есть в таком виде, что выражение можно вычислить, предполагая, что z достаточно мало.
Пусть последовательность <tex>(a_0, a_1, a_2, ...)</tex> удовлетворяет некоторому рекуррентному соотношению. Мы хотим получить выражение для <tex>a_n</tex> (при <tex>n \ge 0</tex>) в замкнутом виде. Алгоритм получения замкнутого выражения для чисел <tex>a_n</tex>, удовлетворяющих рекуррентному соотношению, с помощью производящих функций состоит из 4 шагов:
<tex dpi = "160">a_n=\frac{n+1}{3}+\frac{7}{9}-\frac{2^n}{2}+\frac{7 \cdot 4^n}{18}=\frac{7 \cdot 4^n+6n+20}{18}-2^{n-1}</tex>
=== Расчет дисперсии геометрического распределения ===
Метод производящих функций также используется для нахождения математического ожидания и дисперсии различных распределений в теории вероятностей. Например в геометрическом распределении c p=1/2 для нахождения дисперсии <tex>D(\xi)=E(\xi^2)-(E(\xi))^2</tex> нужно найти два мат. ожидания:
<tex dpi = "180">\sum_{n=1}^\infty n (\frac{1}{2})^n=2</tex>
<tex dpi = "180">\sum_{n=1}^\infty n^2 (\frac{1}{2})^n=6</tex>
которые фактически являются производящими функциями последовательностей <tex>1, 2, 3...</tex> и <tex>1, 4, 9...</tex>, где z взято равным <tex>\frac{1}{2}</tex>
== Ссылки ==
* [http://kvant.mirror1.mccme.ru/1988/11/razbienie_chisel.htm Вайнштейн Ф., Разбиение чисел. Журнал "Квант" № 11, 1988 год]
