Изменения

Метод производящих функций также используется для нахождения математического ожидания и дисперсии различных распределений в теории вероятностей. Например в [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 геометрическом распределении c p=1/2 ] для нахождения дисперсии <tex>D(\xi)=E(\xi^2)-(E(\xi))^2</tex> нужно найти два мат. ожидания:

которые фактически являются производящими функциями последовательностей <tex>1, 2, 3...</tex> и <tex>1, 4, 9...</tex>: <tex dpi = "160">\operatorname{E}(\xi)= p\sum_{n=1}^{\infty}n\,(1-p)^{n-1}</tex> <tex dpi = "160">= p\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}(1-p)}\sum_{n=0}^{\infty}\,(1-p)^{n}</tex> <tex dpi = "160">= - p\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}p}\left(\sum_{n=0}^{\infty}\,(1-p)^{n} \right)</tex> <tex dpi = "160">= - p\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}p}\left(\frac{1}{p}\right) = \frac{1}{p}</tex>. <tex dpi = "160"> \operatorname{E}(\xi^2) = p\sum_{n=1}^{\infty}n^{2}(1-p)^{n-1} =</tex> <tex dpi = "180160">=p\sum_{n=1}^{\infty}n(n+1)(1-p)^{n-1} - p\sum_{n=1}^{\infty }n(1-p)^{n-1} =</tex> <tex dpi = "160"> = p\frac{\operatorname{d}^{2 }}{\operatorname{d}p^{2}}\sum_{n=1}^{\infty}(1-p)^{n+1} + p\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}p}\sum_{n=1}^{\infty}(1-p)^{n} =</tex> <tex dpi = "160"> = p\frac{\operatorname{d}^{2}}{\operatorname{d}p^{2}}\left(\sum_{n=0}^{\infty}(1-p)^{n} \cdot (1-p)^2\right) +p\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}p}\left(\sum_{n=0}^{\infty}(1-p)^{n}\cdot(1-p)\right) =</tex> <tex dpi = "160"> = p\frac{\operatorname{d}^{2}}{\operatorname{d}p^{2}}\left(\frac{1}{1-(1-p)} \cdot (1-p)^2\right) +p\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}p}\left(\frac{1}{1-(1-p)}\cdot(1-p)\right) =</tex> <tex dpi = "160"> = p\frac{\operatorname{d}^{2}}{\operatorname{d}p^{2}}\left(\frac{(1-p)^2}{p}\right) +p\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}p}\left(\frac{1-p}{p}\right) =</tex> <tex dpi = "160"> = p\cdot\frac{2}{p^3} - p\cdot\frac{1}{p^2} - \frac{1}{p^2} = \frac{2}{p^{2}} - \frac{1}{p} = \frac{1}{p^{2}} =6</tex> .

* [http://en.wikipedia.org/wiki/Generating_function Wikipedia - Generating function]