38
правок
Изменения
→Свойства ковариации
* Неравенство Коши — Буняковского:
: если принять в качестве скалярного произведения двух случайных величин ковариацию <tex>\langle \eta, \xi \rangle = Cov (\eta, \xi)</tex>, то квадрат нормы случайной величины будет равен дисперсии <tex> ||\eta||^2 = D [ \eta ], </tex> и Неравенство Коши-Буняковского запишется в виде:
:: <tex>Cov^2(\eta,\xi) \leq leqslant \mathrm{D}[\eta] \cdot \mathrm{D}[\xi]</tex>.{{Hider| title = ''Доказательство'' | content = <!------------------------------------------------------------------------------------->Запишем неравенство в другом виде:: <tex>|Cov(\eta, \xi)|\leqslant\sqrt{D[\eta]D[\xi]}</tex>. Введём в рассмотрение случайную величину <tex>Z_{1}= \sigma_{Y} X- \sigma_{X} Y</tex> (где <tex> \sigma</tex> — [[среднеквадратическое отклонение]]) и найдём её дисперсию <tex> D(Z_{1})= M[ Z-m_{Z1}]^2</tex>. Выполнив выкладки получим:<center><tex> D(Z_{1})=2 \sigma^2_{X} \sigma^2_{Y}-2 \sigma_{X} \sigma_{Y}Cov(\eta, \xi). </tex></center>Любая дисперсия неотрицательна, поэтому<center><tex>2 \sigma^2_{X} \sigma^2_{Y}-2 \sigma_{X} \sigma_{Y}Cov(\eta, \xi) \geqslant 0</tex></center>Отсюда<center><tex>Cov(\eta, \xi)\leqslant\mathrm{\sigma}_{X}\mathrm{\sigma}_{Y}.</tex></center>Введя случайную величину <tex> Z_{2}= \sigma_{Y} X+ \sigma_{X} Y</tex>, аналогично<center><tex>Cov(\eta, \xi)\geqslant - \mathrm{\sigma}_{X}\mathrm{\sigma}_{Y}.</tex></center>Объединив полученные неравенства имеем<center><tex>- \mathrm{\sigma}_{X}\mathrm{\sigma}_{Y}\leqslant Cov(\eta, \xi)\leqslant\mathrm{\sigma}_{X}\mathrm{\sigma}_{Y}.</tex></center>Или<center><tex>|Cov(\eta, \xi)|\leqslant\mathrm{\sigma}_{X}\mathrm{\sigma}_{Y}.</tex></center>Итак,<center><tex>|Cov(\eta, \xi)|\leqslant\sqrt{D[\eta]D[\xi]}.</tex></center>А значит, верно и исходное неравенство:<center><tex>Cov^2(\eta,\xi) \leqslant \mathrm{D}[\eta] \cdot \mathrm{D}[\xi]</tex></center><!-------------------------------------------------------------------------------------> |frame-style = border: 1px solid rgb(200,200,200); | title-style = color: black; background-color: rgb(255,255,221); font-weight: bold; text-align: left;| content-style = color: black; background-color: white; text-align: left; | hidden=1}}
== Ссылки ==
