Изменения
Нет описания правки
Бинарных функций из класса DM всего две.
Рассмотрим эти функции ''':'''
#<tex> ~f(0,0)< f(1,1)</tex> и <tex> f(0,0) = \lnot f(1,1)</tex>, следовательно, <tex> f(0,0)=0</tex> и <tex> f(1,1)=1 </tex>
#<tex> ~f(0,1) = \lnot f(1,0)</tex>
Из первого и второго пункта видно, что подходят только проекторы {{---}} <tex> P_1,P_2 </tex>
Теперь покажем, как эти функции можно представить с помощью медианы ''':'''
<tex> P_1 = <x, x, y>, P_2 = <x, y, y></tex>.
Только четыре тернарные функции принадлежат классу DM. Рассмотрим эти функции ''':'''
Заметим, что для всех таких функций
\end{matrix}\right.\Rightarrow f=p_3 </tex>
#<tex>f(1,0,0) = f(0,1,0) = f(0,0,1) = 0, </tex> следовательно, <tex> f = <x_1,x_2,x_3> </tex>
Покажем как эти функции представляются с помощью медианы ''':'''
#<tex> P_1 = <x, x, y></tex>
#<tex> P_2 = <x, y, y></tex>
Теперь рассмотрим произвольную монотонную самодвойственную функцию <tex> f : \mathbb{B}^n \rightarrow \mathbb{B} </tex> для <tex> n > 3 </tex>. Обозначим аргументы <tex> x_4, x_5 \dots x_n </tex> за <tex> \bar x </tex>, то есть <tex> f(x_1, x_2, x_3, x_4 \dots x_n) = f(x_1, x_2, x_3, \bar x) </tex>. Тогда введем три функции от <tex>n - 1</tex> аргумента:
: <tex> f_1(x_1, x_2, \bar x) = f(x_1, x_2, x_2, \bar x) </tex>
: <tex> f_2(x_2, x_3, \bar x) = f(x_3, x_2, x_3, \bar x) </tex>
: <tex> f_3(x_3, x_1, \bar x) = f(x_1, x_1, x_3, \bar x) </tex>
Очевидно, они также самодвойственны и монотонны из определения <tex>f</tex>, и <tex>f</tex> можно выразить одной из функций <tex> f_1, f_2, f_3 </tex>, так как два из трех аргументов точно совпадут. Теперь выразим <tex>f</tex> через <tex> f_1, f_2, f_3 </tex>:
: <tex> f(x_1 \dots x_n) = <f_1(x_1, x_2, \bar x), f_2(x_2, x_3, \bar x), f_3(x_3, x_1, \bar x)> </tex>
#Все три аргумента равны ''':''' <tex> x_1 = x_2 = x_3 </tex>, тогда, очевидно, что равенство выполняется.#Равны два аргумента ''':''' <tex> x_1 = x_2 \ne x_3 </tex> (случаи <tex> x_1 = x_3 \ne x_2 </tex> и <tex> x_2 = x_3 \ne x_3 </tex> доказываются аналогично). Тогда''':''' ::<tex> f = f(x_1, x_1, x_3, \bar x)</tex>, <tex> f_1 = f(x_1, x_1, x_1, \bar x)</tex>, <tex>f_2 = f(x_3, x_1, x_3, \bar x)</tex>, <tex>f_3 = f(x_1, x_1, x_3, \bar x)</tex>.Рассмотрим два случая''':''':::*<tex> x_1 = x_2 = 0, x_3 = 1.</tex> <br>Тогда можно упорядочить <tex> f_1, f_2, f_3 </tex> по возрастанию наборов их переменных (используя свойство их монотонности)''':'''<br><tex> f(0, 0, 0, \bar x) \le f(0, 0, 1, \bar x) \le f(1, 0, 1, \bar x) </tex>. Так как <tex> f(0, 0, 1, \bar x) </tex> - зажато между двумя остальнымифункциями, то оно она и будет медианой <tex> f_1, f_2, f_3 </tex>.
:::*<tex> x_1 = x_2 = 1, x_3 = 0 </tex>. Доказывается аналогично.
}}
Интересный сайт, где можно посмотреть [http://oeis.org/A001206 количество таких функций при каждом n].
