76
правок
Изменения
м
==Доказательство оптимальности и корректности==
Полное доказательство расположено [http://www.cs.auckland.ac.nz/compsci709s2c/resources/Mike.d/astarNilsson.pdf здесь]. Здесь приведем основные факты.
Алгоритм является допустимым(корректным) если он гарантированно находит оптимальный путь из <tex>S</tex> до целевой вершины.
Допустимые алгоритмы могут различаться числом рассмотренных вершин и порядком просмотра вершин.
===Допустимость А*===
Лемма 1. Для любой незакрытой вершины <tex>n</tex> и любого оптимального пути <tex>P</tex> из <tex>S</tex> в <tex>n</tex> существует открытая вершина <tex>n'</tex>, лежащая на этом пути, для которой найденная стоимость пути из <tex>S</tex> оптимальна.
Теорема 1. Если для любой вершины эвристика не переоценивает настоящую стоимость минимального пути до целевой вершины, то А* допустим.
===Оптимальность А*===
Лемма 2. Предположим, что в процессе работы А* вершина <tex>n</tex> была закрыта и эвристика монотонна. Тогда вычисленный до нее путь из стартовой вершины оптимален.
Теорема 2. Пусть А допустимый алгоритм информированный не больше чем А* и эвристика допустима и монотонна.Тогда если А* рассмотрела в процессе выполнения некоторую вершину <tex>n</tex>, то А тоже рассмотрит эту вершину.
Нет описания правки
Алгоритм '''А*'''("A star", "А звёздочка") {{---}} информированный алгоритм поиска, который находит во взвешенном графе маршрут наименьшей стоимости от начальной вершины до выбранной конечной.
==Эвристика==
В процессе работы алгоритма для вершин используется функция <tex>f(v) = g(v) + h(v)</tex>, где <tex>g(v)</tex> - наименьшая стоимость пути в <tex>v</tex> из стартовой вершины, <tex>h(v)</tex> {{- --}} эвристическое приближение стоимости пути от v до конечной цели. <tex>h(v)</tex> должна быть эвристически допустимой, то есть не должна переоценивать рассояние до цели. Например, если наш граф является некоторой картой, разбитой сеткой, то эвристику можно назначить минимальным числом перемещений из клетки в клетку.К примеру, если <tex>(h(v) == 0)</tex>, то А* превращается алгоритм посетит вершины в том же порядке, что и [[http://chernykh.net/images/stories/Person/deiksteira.jpg Дейкстру алгоритм Дейкстры]]. Если <tex>h(v)</tex> всегда меньше истинной стоимости пути до цели, то А* гарантированно найдет кратчайший путь, причем чем меньше разница между эвристикой и истинной стоимостью, тем меньше вершин рассмотрит алгоритм. Если выйдет так, что эвристика превысила истинную стоимость, то А* будет работать быстрее, но возможно найдет не лучший путь, хотя его можно считать "хорошим" и если производительность предпочтительнее точности можно использовать такую эвристику.
==Псевдокод==
А* просматривает среди всех маршрутов ведущих к цели сначала те, которые благодаря имеющейся информации(эвристическая функция) в данный момент похожи на наилучшийявляются наилучшими, причем алгоритм учитывает путь уже пройденный до текущей вершины.
[[Файл:Astar_progress_animation.gif|thumb|right|Пример работы А*. Пустые кружки принадлежат к открытому списку, а окрашенные к закрытому.]]
void A*(start,goal)
}
==Ссылки==
*[http://en.wikipedia.org/wiki/A*_search_algorithm A*_search_algorithm Wikipedia]
*[http://theory.stanford.edu/~amitp/GameProgramming/ Статья о поиске кратчайших путей и различных оптимизациях А* в частности]
*[http://dl.acm.org/citation.cfm?id=3830&coll=portal&dl=ACM Статья на ACM Digital Library, в которой подробно написано обоснование корректности алгоритма]
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Кратчайшие пути в графах ]]
