Изменения

|proof=Доказательство:Рассмотрим <tex>{(P_\sigma P_\pi)}_{i,j} = \sum\limits_{x = 1}^{n}{({P_\sigma}_{i,x} {P_\pi}_{x,j})}</tex>

Рассмотрим <tex>{(P_\sigma P_\pi)}_{i,j} = \sum\limits_{k = 1}^{n}{({P_\sigma}_{i,k} {P_\pi}_{k,j})}</tex>эта сумма может быть равна нулю или единице, причем единице в том случае, если в <tex>i</tex> - той строчке на <tex>k</tex> - том столбце матрицы <tex>P_\sigma</tex> и в <tex>k</tex> - той строчке на <tex>j</tex> - том столбце матрицы <tex>P_\pi</tex> стоят единицы. <tex>{P_\sigma}_{i,k} = 1</tex> значит, что в перестановке <tex>\sigma</tex> на <tex>i</tex> - том месте стоит элемент <tex>k</tex>, и <tex>{P_\pi}_{k,j} = 1</tex> означает что в перестановке <tex>\pi</tex> на <tex>k</tex> - том месте стоит элемент <tex>j</tex>, а <tex>{(P_\sigma P_\pi)}_{i,j} = 1</tex> означает что в перестановке, которой соответствует эта матрица, так же на <tex>i</tex> - том месте стоит элемент <tex>j</tex>. Но также известно, что если умножить перестановку <tex>\sigma</tex>, где на <tex>i</tex> - том месте стоит элемент <tex>k</tex>, на перестановку <tex>\pi</tex>, где на <tex>k</tex> - том месте стоит элемент <tex>j</tex>, то в полученной перестановке <tex>{\sigma \circ \pi}</tex> на <tex>i</tex> - том месте будет стоять элемент <tex>j</tex>. В результате если <tex>{(P_\sigma P_\pi)}_{i,j} = 1</tex>, то <tex>({P_{\sigma \circ \pi}})_{i,j} = 1</tex>. Аналогичные рассуждения можно провести когда <tex>{(P_\sigma P_\pi)}_{i,j} = 0</tex>, и также получим, что <tex>({P_{\sigma \circ \pi}})_{i,j} = 0</tex>. Поэтому для любых <tex>i,j</tex> справедливо <tex>{(P_\sigma P_\pi)}_{i,j} = ({P_{\sigma \circ \pi}})_{i,j}</tex>, а раз такое равентсво выполняется, то <tex>P_\sigma P_\pi = P_{\sigma \circ \pi}</tex>.

// разработка* Для любой матрицы {{Утверждение|statement=Произведение матриц перестановок есть матрица перестановок существует обратная:*: <tex>P_\sigma^{-1} |proof= P_\sigma^T</tex> Произведение перестановок есть перестановка, где <tex>P^T</tex> - транспонированная значит и произведение матриц перестановок есть матрица <tex>P</tex>перестановок.}}

* Для любой {{Утверждение|statement=Умножение произвольной матрицы <tex>M</tex> на перестановочную соответственно меняет местами её столбцы.Умножение перестановочной матрицы перестановок на произвольную <tex>M</tex> меняет местами строки в <tex>M</tex>|proof=Рассмотрим произвольную матрицу <tex>A</tex> и матрицу перестановки <tex>P</tex> справедливо:*: возьмем <tex>i</tex> - тую строчку матрицы <tex>A</tex> и умножим на <tex>j</tex> - тый столбец <tex>P^T </tex>,так как <tex>j</tex> - тый столбец матрицы <tex>P = P P^T = E</tex> это двоичный вектор с одной единицей, то от <tex>i</tex> - той строчки матрицы <tex>A</tex> выживет один элемент, причем на <tex>j</tex> - том месте.Проделав тоже самое со всеми строками матрицы <tex>A</tex>, получим что каждый элемент строки стоящий на <tex>i</tex> - том месте в этой строке, встанет на <tex>j</tex> - тое место. Таким образом, где <tex>Ei</tex> - единичная матрицатый столбец будет стоять на <tex>j</tex> - том месте.}}

* Произведение матриц перестановок есть матрица перестановок * Матрица перестановок <tex>n</tex>-го порядка может быть представлена в виде произведения <tex>(n - 1)</tex> элементарных матриц перестановок * {{Утверждение|statement=Квадрат элементарной матрицы перестановок есть единичная матрица * Умножение произвольной матрицы <tex>M</tex> на перестановочную соответственно меняет местами её столбцы.}}

* Умножение перестановочной матрицы на произвольную {{Утверждение|statement=Матрица перестановок <tex>Mn</tex> меняет местами строки -го порядка может быть представлена в виде произведения <tex>M(n - 1)</tex>.элементарных матриц перестановок|proof=Перестановка <tex>n</tex>-го порядка может быть получена <tex>(n - 1)</tex> элементарной транспозицией из тождественной перестановки}}