166
правок
Изменения
Нет описания правки
<center><tex>P_\sigma P_\pi = P_{\sigma \circ \pi}</tex></center>
где <tex>\circ</tex> - операция [[Умножение перестановок, обратная перестановка, группа перестановок| умножения двух перестановок]].
|proof=
Рассмотрим <tex>{(P_\sigma P_\pi)}_{i,j} = \sum\limits_{x = 1}^{n}{({P_\sigma}_{i,x} {P_\pi}_{x,j})}</tex>
Для любой матрицы перестановок существует обратная:
<center><tex>P_\sigma^{-1} = P_\sigma^T</tex></center>
где <tex>P^T</tex> - транспонированная матрица <tex>P</tex>.
|proof=
Так как перестановки являются группой, то для любой перестановки существует обратная. Так как любая перестановка имеет свою матрицу перестановки, то утверждение о существовании обратной матрицы перестановки также справедливо.
}}
{{Утверждение|statement=Для любой матрицы перестановок <tex>P</tex> справедливо:
<center><tex>P^T P = P P^T = E</tex></center> где <tex>E</tex> - единичная матрица.
|proof=
Так же следует из того что перестановки являются группой.}}
{{Утверждение|statement=Произведение матриц перестановок есть матрица перестановок.
|proof=
Произведение перестановок есть перестановка, значит и произведение матриц перестановок есть матрица перестановок.}}
{{Утверждение|statement=
Умножение произвольной матрицы <tex>A</tex> на перестановочную соответственно меняет местами её столбцы.
Умножение перестановочной матрицы на произвольную <tex>A</tex> меняет местами строки в <tex>A</tex>.
|proof=
Рассмотрим произвольную матрицу <tex>A</tex> и матрицу перестановки <tex>P</tex>:
}}
{{Утверждение|statement=Квадрат элементарной матрицы перестановок есть единичная матрица.
}}
{{Утверждение|statement=Матрица перестановок <tex>n</tex>-го порядка может быть представлена в виде произведения <tex>(n - 1)</tex> элементарных матриц перестановок.|proof=Перестановка <tex>n</tex>-го порядка может быть получена <tex>(n - 1)</tex> элементарной транспозицией из тождественной перестановки}}
== Применение ==
Благодаря последним своим свойствам, матрицам перестановок нашлось применение в линейной алгебре:
пусть задана матрица перестановки <tex>P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}</tex>, которая соответствует перестановке <tex>\pi = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}</tex>, и матрица <tex>A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{pmatrix}</tex>,
