403
правки
Изменения
м
Нет описания правки
Для заданного <tex>x</tex> начиная с <tex>j = k</tex>, <tex>|f_{n_{j + 1}}(x) - f_{n_j}(x) | </tex> начнут мажорироваться сходящимся рядом <tex>\varepsilon_k</tex>. Тогда этот ряд сходится. Значит, <tex>\forall x\leq A</tex> функциональная последовательность сходится.
}}
== Связь сходимости по мере и почти всюду ==
Разделим <tex>[0; 1]</tex> на <tex>m</tex> равных частей. <tex>E = [0; 1]</tex>.
<tex>k = 0, 1 \ldots n - 1 : f_{k, m}(x) = \begin{cases}0, & x \notin \left[\frac{k}m; \frac{k+1}m\right]\\1, & x \in \left[ \frac{k}m; \frac{k+1}m \right] \end{cases}</tex>
Растягиваем матрицу этих функций в строчку:
<tex>f_{1,1}, f_{1,2}, f_{2, 1}, f_{1,3}, f_{2,2}, f_{3, 1}, \ldots</tex> {{---}} функциональная последовательность.
<tex>E(|f_{k,m}(x)|\geq \delta)</tex>, <tex>\delta > 0</tex>. В силу определений этих функций очевидно, что <tex>\lambda E(|f_{k,m}(x)| \geq \delta) \leq \frac1m</tex>
Очевидно, что <tex>f_{k,m} \Rightarrow 0</tex>
С другой стороны очевидно, что к <tex>0</tex> она почти всюду не стремится, ибо, фиксировав <tex>x \in (0; 1)</tex>, <tex>x \in \left[ \frac{k_x}m; \frac{k_x + 1}m \right]</tex> стремится на нём <tex>f_{k_x, m} = 1</tex>
Мы можем строить подпоследовательность функций, которые равны <tex>1</tex>, значит, стремятся к <tex>1</tex>. Аналогично с нулём.
Мы получили пример, что даже на множестве конечной меры, из сходимости по мере сходимость почти всюду не следует.
== Теорема Рисса ==
{{Теорема
|author=Фердинанд Рисс
|statement=Пусть последовательность функций сходится по мере к функции <tex>f</tex> на <tex>E</tex>. Тогда из неё можно выделить подпоследовательность, которая сходится почти всюду на <tex>E</tex>
|proof=
Выше мы показали, что если <tex>f_n \Rightarrow f</tex>, то <tex>|f_n - f_m| \Rightarrow 0</tex>, <tex>n,m \to \infty</tex>
Тогда, по лемме, выделяем требуемую последовательность функций.
}}
== Пункт 2 ==
Будет разговор о <tex>C</tex>-свойстве Лузина. Приведём без доказательства, но из неё выведем важную теорему Фреше.
{{Теорема
|author=Лузин
|statement=<tex>E \subset \mathbb{R}^n</tex>, <tex>f</tex> {{---}} измерима на <tex>E</tex> по мере Лебега. Тогда <tex>\forall\varepsilon>0\ \exists \varphi</tex> {{---}} непрерывная на <tex>\mathbb{R}^n</tex>, <tex>\lambda_nE(f\ne\varphi)<\varepsilon</tex>
|proof=Не в этой жизни
}}
Это принято называть <tex>C</tex>-свойством Лузина.
Если, помимо всего прочего, <tex>f(x)</tex> ограничена <tex>M</tex> на <tex>E</tex>, то <tex>\varphi</tex> можно подобрать таким образом, что она ограничена той же постоянной на <tex>\mathbb{R}^n</tex>
== Теорема Фреше ==
{{Теорема
|author=Фреше
|statement=<tex>E\subset \mathbb{R}^n</tex>, <tex>f</tex> {{---}} измерима на <tex>E</tex>. Тогда <tex>\exists\varphi_n</tex> {{---}} последовательность непрерывных на <tex>\mathbb{R}^n</tex> функций такая, что <tex>\varphi_n\to f</tex> почти всюду на <tex>E</tex>
|proof=<tex>\varepsilon_n \to 0</tex>. По теореме Лузина, <tex>\forall\varepsilon_n\ \exists\varphi_n</tex> {{---}} непрерывная <tex>: \forall \delta>0 E(|\varphi_n - f| > \delta) < E(\varphi_n \ne f)</tex>
<tex>\lambda E(|\varphi_n - f| > \delta) \leq \lambda E(\varphi_n \ne f) < \varepsilon_n \to 0</tex>. Значит, <tex>\lambda E(|\varphi_n-f| > \delta) \to 0</tex>. Значит, <tex>\varphi_n \Rightarrow f</tex>
По теореме Рисса, <tex>\exists\varphi_{n_k} \to f</tex> почти всюду на <tex>E</tex>
}}
== Теорема Егорова ==
Д.Ф. Егоров {{---}} основатель московской школы теории функций. Не понравился Сталину, жизнь закончил в городе Казань.
{{Теорема
|author=Егоров
|statement=Пусть <tex>\mu E < +\infty</tex>, <tex>f_n \to f</tex> почти всюду на <tex>E</tex>, <tex>\delta > 0</tex>.
Тогда <tex>\exists E'' \subset E</tex>, <tex>\mu E'' > \mu E - \delta</tex>, <tex>f_n \stackrel{E''}{\Rightarrow} f</tex>
|proof=
<tex>\bigcup\limits_{p=1}^\infty \bigcap\limits_{m=1}^\infty \bigcup\limits_{n=m}^\infty E(|f_n - f| \geq \frac1p)</tex> {{---}} нульмерно.
<tex>\delta < 0</tex>
<tex>B_m(p) = \bigcup\limits_{n=m}^\infty E(|f_n - f| \geq \frac1p) \supset B_{m+1}(p)</tex>
В силу конечности меры <tex>E</tex>, из <tex>\sigma</tex>-аддитивности, <tex>\mu B_m(p) \xrightarrow[m\to\infty]{} \mu\bigcap\limits_{m=1}^\infty B_m(p)</tex>. Но любое пересечение содержится в объединении <tex>\bigcap\limits_{m=1}^\infty B_m(p)\subset \bigcup\limits_{p=1}^\infty \bigcap\limits_{m=1}^\infty B_m(p)</tex> {{---}} нульмерно <tex>\Rightarrow</tex> по монотонности меры, <tex>\mu\bigcap\limits_{m=1}^\infty B_m(p) = 0</tex>.
<tex>\frac{\delta}{2p} : \exists B_{m_j}(p) : \mu B_{m_j}(p) < \frac{\delta}{2p}</tex>
<tex>E' = \bigcup\limits_{p=1}^\infty B_{m_p}(p)</tex>
По полуаддитивности меры, <tex>\mu E' \leq \sum\limits_{p=1}^\infty B_{m_p}(p) \leq \sum\limits_{p=1}^\infty \frac\delta{2p} = \delta</tex>
<tex>\mu E' < \delta</tex>, <tex>\bar E' = E \setminus E'</tex>
<tex>\mu \bar E' = \mu E - \mu E' = \mu E - \delta</tex>
По двойственности, <tex>\bar E' = \overline{\bigcup\limits_{p=1}^\infty B_m(p)} = \bigcap\limits_{p=1}^\infty \overline{B_{m_p}(p)}</tex>
<tex>B_{m_p}(p) = \bigcup\limits_{n=m_p}^\infty E(|f_n - f| \geq \frac1p)</tex>. Значит, <tex>\bar B_{m_p}(p) = \bigcap\limits_{n=m_p}^\infty E(|f_n f| < \frac1p)</tex>
Окончательно получается, что <tex>\bar E' = \bigcap\limits_{p=1}^\infty \bigcap\limits_{n=m_p}^\infty E(|f_n - f| < \frac1p)</tex>
<tex>\mu\bar E' > \mu E - \delta</tex>
<tex>\forall x \in \bar E' \Rightarrow \forall p=1,2,\ldots x \in \bigcap\limits_{n=m_p}^\infty E(|f_n - f| < \frac1p)</tex>. Значит, <tex>\forall n > m_p : |f_n(x) - f(x)| \leq \frac1p</tex>.
В силу того, что номер <tex>m_p</tex> выбирается независимо от <tex>x</tex>, а только по <tex>\delta</tex> и <tex>з</tex>, <tex>f_n \stackrel{\bar E'}{\Rightarrow} f</tex>
}}
Смысл теоремы Егорова в том, что сходимость почти наверное с точностью до множества малой меры {{---}} равномерная сходимость.
