403
правки
Изменения
м
Новая страница: «{{В разработке}} {{TODO|t=ВАКАНСИЯ: ВНИМАТЕЛЬНЫЙ ЧИТАТЕЛЬ. НУЖЕН, ЧТОБЫ ОЗНАКОМИТЬСЯ С ЭТИМ ТЕК...»
{{В разработке}}
{{TODO|t=ВАКАНСИЯ: ВНИМАТЕЛЬНЫЙ ЧИТАТЕЛЬ. НУЖЕН, ЧТОБЫ ОЗНАКОМИТЬСЯ С ЭТИМ ТЕКСТОМ И ИСПРАВИТЬ КОСЯКИ}}
Есть <tex>\langle X, \mathcal{A}, \mu \rangle</tex>. Далее, мы всегда предполагаем, что <tex>\mu</tex> {{---}} <tex>\sigma</tex>-конечная и полная.
Пусть <tex>E</tex> {{---}} измеримое множество (<tex>E \in \mathcal{A}</tex>).
<tex>f : E \to \mathbb{R}</tex>, <tex>\forall x \in E : |f(x)| \leq M</tex>, <tex>\mu E < +\infty</tex>.
Разобьём <tex>E</tex> на конечное число попарно дизъюнктных измеримых частей.
<tex>E = \bigcup\limits_{p=1}^\infty e_p</tex> {{---}} дизъюнктные и измеримые. <tex>\tau = \{e_1; e_2; \ldots e_n\}</tex> {{---}} разбиение
{{Утверждение
|statement=<tex>\exists</tex> хотя бы одно разбиение
|proof=Вот оно! <tex>\tau = \{E\}</tex>
}}
Системы чисел <tex>m_p(f) = m_p = \inf\limits_{x \in e_p} f(x)</tex>, <tex>M_p(f) = M_p = \sup\limits_{x\in e_p} f(x)</tex> {{---}} конечны
{{Определение
|definition=Верхняя и нижняя суммы Лебега-Дарбу {{---}} <tex>\underline{s}(\tau) = \sum\limits_{p=1}^n m_p \mu e_p</tex>, <tex>\overline{s}(\tau) = \sum\limits_{p=1}^n M_p \mu e_p</tex>. Они аналогичны суммам Дарбу для интеграла Римана.
}}
{{Определение
|definition=<tex>\tau_1, \tau_2</tex> {{---}} разбиения. Если <tex>\forall e \in \tau_1</tex> содержится в каком-то <tex>e' \in \tau_2</tex>, то <tex>\tau_1</tex> мельче <tex>\tau_2</tex>, <tex>\tau_1 \leq \tau_2</tex>.
}}
{{Лемма
|statement=1. <tex>\underline{s}(\tau) \leq \overline{s}(\tau)</tex>
2. <tex>\tau_1 \leq \tau_2 \Rightarrow \underline{s}(\tau_2) \leq \underline{s}(\tau_1)</tex>, <tex>\overline{s}(\tau_1) \leq \overline{s}(\tau_2)</tex>
3. <tex>\forall \tau_1, \tau_2 : \underline{s}(\tau_1) \leq \overline{s}(\tau_2)</tex>
}}
На базе этой леммы вы видим: <tex>\underline{L} = \sup\limits_{\tau} \underline{s}(\tau)</tex>, <tex>\overline{L} = \inf\limits_{\tau} \overline{s}(\tau)</tex>, то из леммы следует: <tex>\underline{s}(\tau) \leq \underline{L} \leq \overline{L} \leq \overline{s}(\tau)</tex>.
{{Определение
|definition=Если <tex>\underline{L} = \overline{L}</tex>, то <tex>f</tex> {{---}} интегрируемая по Лебегу на <tex>E</tex>, общее значение этих чисел {{---}} интеграл Лебега, <tex>\underline{L}=\overline{L} = \int\limits_E f d\mu</tex>.
}}
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>f</tex>{{---}} измерима и ограничена на <tex>E</tex>, <tex>\mu E < +\infty</tex>. Тогда <tex>f</tex>{{---}} интегрируемая по Лебегу на <tex>E</tex>.
|proof=<tex>f</tex> {{---}} ограничена <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\exists M > 0 \forall x : |f(x)| < M </tex>. Разобьём <tex>[-M; M]</tex> на <tex>n</tex> равных частей.
<tex>y_k = -M + \frac{2M}nk</tex>, <tex>k = 0..n</tex>
<tex>e_k = E(y_k \leq f(x) \leq y_{k+1})</tex>. В силу измеримости <tex>f</tex> {{---}} это измеримое множество, так как, <tex>-M \leq f(x)\leq M</tex>, <tex>E = \bigcap\limits_{k=0}^{n-1} E_k</tex>, все дизъюнктны.
Итак, мы получили разбиение <tex>E</tex>
<tex>m_k = \inf\limits_{x\in e_k}f(x) > y_k</tex>, <tex>M_k = \sup\limits_{x \in e_k}f(x) \leq y_{k+1}</tex>
<tex>\mu e_k \geq 0</tex>. <tex>\sum\limits_{k=0}^{n-1}y_k \mu e_k \leq \underline{s}(\tau) \leq \underline{L} \leq \overline{L} \leq overline{s}(\tau) \leq \sum\limits_{k=0}^{n-1}y_{k+1}\mu e_k</tex>
<tex>0 \leq \overline{L} - \underline{L} \leq \sum\limits_{k=0}^{n-1}(y_{k+1} - y_k) \mu e_k = \frac{2M}n \sum\limits_{k=0}^{n-1}\mu e_k = \frac{2M}n\mu E</tex>
<tex>0 \leq \overline{L} - \underline{L} \leq \frac{2M}n \mu E</tex>
<tex>n</tex> {{---}} произвольное, натуральное. Устремляем к бесконечности.
}}
Замечание. На самом деле, можно доказать и обратное. Факт существования интеграла Лебега функции необходимо влечёт её измеримость.
{{TODO|t=ВАКАНСИЯ: ВНИМАТЕЛЬНЫЙ ЧИТАТЕЛЬ. НУЖЕН, ЧТОБЫ ОЗНАКОМИТЬСЯ С ЭТИМ ТЕКСТОМ И ИСПРАВИТЬ КОСЯКИ}}
Есть <tex>\langle X, \mathcal{A}, \mu \rangle</tex>. Далее, мы всегда предполагаем, что <tex>\mu</tex> {{---}} <tex>\sigma</tex>-конечная и полная.
Пусть <tex>E</tex> {{---}} измеримое множество (<tex>E \in \mathcal{A}</tex>).
<tex>f : E \to \mathbb{R}</tex>, <tex>\forall x \in E : |f(x)| \leq M</tex>, <tex>\mu E < +\infty</tex>.
Разобьём <tex>E</tex> на конечное число попарно дизъюнктных измеримых частей.
<tex>E = \bigcup\limits_{p=1}^\infty e_p</tex> {{---}} дизъюнктные и измеримые. <tex>\tau = \{e_1; e_2; \ldots e_n\}</tex> {{---}} разбиение
{{Утверждение
|statement=<tex>\exists</tex> хотя бы одно разбиение
|proof=Вот оно! <tex>\tau = \{E\}</tex>
}}
Системы чисел <tex>m_p(f) = m_p = \inf\limits_{x \in e_p} f(x)</tex>, <tex>M_p(f) = M_p = \sup\limits_{x\in e_p} f(x)</tex> {{---}} конечны
{{Определение
|definition=Верхняя и нижняя суммы Лебега-Дарбу {{---}} <tex>\underline{s}(\tau) = \sum\limits_{p=1}^n m_p \mu e_p</tex>, <tex>\overline{s}(\tau) = \sum\limits_{p=1}^n M_p \mu e_p</tex>. Они аналогичны суммам Дарбу для интеграла Римана.
}}
{{Определение
|definition=<tex>\tau_1, \tau_2</tex> {{---}} разбиения. Если <tex>\forall e \in \tau_1</tex> содержится в каком-то <tex>e' \in \tau_2</tex>, то <tex>\tau_1</tex> мельче <tex>\tau_2</tex>, <tex>\tau_1 \leq \tau_2</tex>.
}}
{{Лемма
|statement=1. <tex>\underline{s}(\tau) \leq \overline{s}(\tau)</tex>
2. <tex>\tau_1 \leq \tau_2 \Rightarrow \underline{s}(\tau_2) \leq \underline{s}(\tau_1)</tex>, <tex>\overline{s}(\tau_1) \leq \overline{s}(\tau_2)</tex>
3. <tex>\forall \tau_1, \tau_2 : \underline{s}(\tau_1) \leq \overline{s}(\tau_2)</tex>
}}
На базе этой леммы вы видим: <tex>\underline{L} = \sup\limits_{\tau} \underline{s}(\tau)</tex>, <tex>\overline{L} = \inf\limits_{\tau} \overline{s}(\tau)</tex>, то из леммы следует: <tex>\underline{s}(\tau) \leq \underline{L} \leq \overline{L} \leq \overline{s}(\tau)</tex>.
{{Определение
|definition=Если <tex>\underline{L} = \overline{L}</tex>, то <tex>f</tex> {{---}} интегрируемая по Лебегу на <tex>E</tex>, общее значение этих чисел {{---}} интеграл Лебега, <tex>\underline{L}=\overline{L} = \int\limits_E f d\mu</tex>.
}}
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>f</tex>{{---}} измерима и ограничена на <tex>E</tex>, <tex>\mu E < +\infty</tex>. Тогда <tex>f</tex>{{---}} интегрируемая по Лебегу на <tex>E</tex>.
|proof=<tex>f</tex> {{---}} ограничена <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\exists M > 0 \forall x : |f(x)| < M </tex>. Разобьём <tex>[-M; M]</tex> на <tex>n</tex> равных частей.
<tex>y_k = -M + \frac{2M}nk</tex>, <tex>k = 0..n</tex>
<tex>e_k = E(y_k \leq f(x) \leq y_{k+1})</tex>. В силу измеримости <tex>f</tex> {{---}} это измеримое множество, так как, <tex>-M \leq f(x)\leq M</tex>, <tex>E = \bigcap\limits_{k=0}^{n-1} E_k</tex>, все дизъюнктны.
Итак, мы получили разбиение <tex>E</tex>
<tex>m_k = \inf\limits_{x\in e_k}f(x) > y_k</tex>, <tex>M_k = \sup\limits_{x \in e_k}f(x) \leq y_{k+1}</tex>
<tex>\mu e_k \geq 0</tex>. <tex>\sum\limits_{k=0}^{n-1}y_k \mu e_k \leq \underline{s}(\tau) \leq \underline{L} \leq \overline{L} \leq overline{s}(\tau) \leq \sum\limits_{k=0}^{n-1}y_{k+1}\mu e_k</tex>
<tex>0 \leq \overline{L} - \underline{L} \leq \sum\limits_{k=0}^{n-1}(y_{k+1} - y_k) \mu e_k = \frac{2M}n \sum\limits_{k=0}^{n-1}\mu e_k = \frac{2M}n\mu E</tex>
<tex>0 \leq \overline{L} - \underline{L} \leq \frac{2M}n \mu E</tex>
<tex>n</tex> {{---}} произвольное, натуральное. Устремляем к бесконечности.
}}
Замечание. На самом деле, можно доказать и обратное. Факт существования интеграла Лебега функции необходимо влечёт её измеримость.
