403
правки
Изменения
м
Нет описания правки
Замечание. На самом деле, можно доказать и обратное. Факт существования интеграла Лебега функции необходимо влечёт её измеримость.
== Сравнение с интегралом Римана ==
Теперь сравним интеграл Римана по отрезку с интегралом Лебега по тому же самому отрезку.
{{Теорема
|statement=<tex>f\in\mathcal{R}(a;b) \Rightarrow f \in \mathcal{L}</tex>. Существует интеграл Лебега <tex>\int\limits_{[a;b]} fd\lambda = \int\limits_a^b fdx</tex>
|proof=Раз функция интегрируема по Риману, то между нижней и верхней суммами Дарбу можно вставить только одно число {{---}} интеграл Римана.
Для дальнейших построений воспользуемся тем, что если если <tex>\inf</tex> берётся по пшшшш, то он не может убывать. Аналогично, <tex>\sup</tex>{{---}} возрастать.
Всё это вместе: раз интеграл Римана {{---}} общее значение соответствующих граней нижней и верхних сумм Дарбу.
<tex>\forall \varepsilon > 0\ \exists \tau = \{a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b\}</tex>
<tex>\int\limits_a^b f(x)dx - \varepsilon < \underline{s^D}(\tau) \leq \overline{s^D}(\tau) < \int\limits_a^b f(x)dx + \varepsilon</tex>
Имея теперь разбиение отрезка точками, создадим на его базе разбиение отрезка на попарно дизъюнктные множества:
<tex>\{[x_0; x_1), [x_1; x_2), \ldots, [x_n-1; x_n), \{x_n\}\}</tex> {{---}} разбиение отрезка <tex>[a;b]</tex> на попарно дизъюнктные измеримые по Лебегу множества.
Значит, так как <tex>\inf\limits_{[x_k; x_{k+1}]}f(x) \leq \inf\limits_{[x_k; x_{k+1})}f(x)</tex>, <tex>\sup\limits_{[x_k; x_{k+1})}f(x) \leq \sup\limits_{[x_k; x_{k+1}]}f(x)</tex> и <tex>\lambda \{x_n\} = 0</tex>, приходим к неравенствам
<tex>\underline{s^D}(\tau) \leq \underline{s}(\tau) \leq \underline{L} \leq \overline{L} \leq \overline{s}(\tau) \leq \overline{s^D}(\tau)</tex>
Сопоставляя это с прошлым неравенством, приходим к выводу, что <tex>\int\limits_a^b f(x)dx - \varepsilon < \underline{L} \leq \overline{L} < \int\limits_a^b f(x)dx</tex>
Здесь только одна переменная {{---}} <tex>\varepsilon</tex>. При <tex>\varepsilon \to 0</tex> победа, <tex>\int\limits_a^b f(x)dx = \int\limits_{[a; b]}fd\lambda</tex>
}}
С другой стороны, <tex>f(x) = \begin{cases}0, & x \in \mathbb{Q}\\1, & x \notin \mathbb{Q}\end{cases}, f \notin \mathcal{R}(0; 1)</tex>
С другой стороны, она кусочно-постоянная на оси. <tex>\mathbb{Q}</tex>{{---}} измеримое по Лебегу, ибо счётно. Значит, <tex>f</tex>{{---}} измеримо на всей оси, а значит, и на <tex>[0; 1]</tex>. Тогда по доказанному выше(намного выше <tex>\smile</tex>) теореме, она интегрируема по Лебегу на <tex>[0; 1]</tex>. Однако, по Риману она не интегрируема. Выходит, на <tex>\mathbb{R}</tex> интеграл Лебега {{---}} распространение интеграла Римана на отрезке.
