338
правок
Изменения
Нет описания правки
[[Файл:MarkovTriangle.png|thumb|350px|Примеры графов переходов для цепей Маркова:
a) цепь не является слабо эргодической (не существует общего стока<tex>^{[1]}</tex> для состояний <mathtex>A_2, \, A_3</mathtex>); b) слабо эргодическая, но не эргодическая цепь (граф переходов является слабо-связным<tex>^{[2]}</tex>) c) эргодическая цепь (сильно-связный<tex>^{[3]}</tex> граф переходов).]]
==Основная теорема об эргодических распределениях==
|statement=
Пусть <tex>\{X_n\}_{n \ge 0}</tex> - цепь Маркова с дискретным пространством состояний и матрицей переходных вероятностей <tex>P = (p_{ij}),\; i,j=1,2,\ldots</tex>. Тогда эта цепь является эргодической тогда и только тогда, когда она
# Неразложима<tex>^{[4]}</tex>;# Положительно возвратна<tex>^{[5]}</tex>;# Апериодична<tex>^{[6]}</tex>.
Эргодическое распределение <tex>\mathbf{\pi}</tex> тогда является единственным решением системы:
:<tex>\sum\limits_{i=0}^{\infty} \pi_i = 1,\; \pi_j \ge 0,\; \pi_j = \sum\limits_{i=0}^{\infty} \pi_i\, p_{ij},\quad \, j\in \mathbb{N}</tex>.}}
# Ориентированный граф называется '''слабо-связным''', если является связным неориентированный граф, полученный из него заменой ориентированных рёбер неориентированными.
# Ориентированный граф называется '''сильно-связным''', если в нём существует (ориентированный) путь из любой вершины в любую другую, или, что эквивалентно, граф содержит ровно одну сильно связную компоненту.
#Если цепь Маркова такова, что её состояния образуют лишь один неразложимый класс <tex>^{[7]}</tex>, то она называется '''неразложимой'''.#Возвратное состояние <tex>i</tex> называется '''положительным''', если <tex> \mathbb{E}[T_i] = \sum\limits_{n=1}^{\infty} n f^{(n)}_{ii} < \infty</tex> <tex>(</tex>где <tex>f_{ii}^{(n)} = \mathbb{P}(X_n = i,\; X_k \not= i, \, k=1,\ldots, n-1 \mid X_0 = i )</tex> — вероятность, выйдя из состояния <tex>i</tex>, вернуться в него ровно за <tex>n</tex> шагов<tex>)</tex>.
# Если <tex>d(j) = 1</tex>, то состояние j называется '''апериодическим''' <tex>(d(j) = \gcd \left(n \in \mathbb{N} \mid p_{jj}^{(n)} > 0 \right)</tex>, где <tex>gcd</tex> обозначает наибольший общий делитель, называется периодом состояния <tex>j</tex>, <tex>p_{jj}^{(n)}</tex> матрица переходных вероятностей за <tex>n</tex> шагов<tex>)</tex>.
# Свойство сообщаемости порождает на пространстве состояний [[Отношение эквивалентности|отношение эквивалентности]]. Порождаемые классы эквивалентности называются '''неразложимыми классами'''.
==Ссылки==
