Изменения
Нет описания правки
[[Файл:Двудольный граф.jpg|thumb|right|200px|Пример двудольного графа]]
{{Теорема
|about=
Кёниг
|statement=
Граф является двудольным <tex> \iff </tex> когда все циклы четные.
|proof=
''Достаточность.''
Рассмотрим двудольный граф. Начнем цикл в доли <tex> U </tex>. Нужно пройти по четному числу ребер, чтобы подняться в <tex> U </tex> снова. Следовательно, при замыкании цикла число ребер будет четным.
''Необходимость.''
Если граф несвязный, то проведем доказательство отдельно для каждой компоненты.
Пусть граф связный и все циклы в нем четные. Выделим произвольную вершину <tex> v_0 </tex> и найдем произвольные цепи между <tex> v_0 </tex> и всеми остальными вершинами (например, самые короткие алгоритмом Дейкстры). Если одна цепь <tex>(v_0, v_i)</tex> нечетной длины, то и любая цепь <tex>(v_0, v_i)</tex> нечетная, иначе бы эти цепи образовали нечетный цикл.
Аналогично, если <tex>(v_0, v_i)</tex> — четная, то и любая <tex>(v_0, v_i)</tex> — четная. Разобьем вершины на две доли: в одну войдет вершина <tex> v_0 </tex> и все, находящиеся от <tex> v_0 </tex> на четном расстоянии; в другую долю поместим все вершины, находящиеся от <tex> v_0 </tex> на нечетном расстоянии. Если вершины <tex> u_1 </tex> и <tex> u_2 </tex> принадлежат одной доле, то между ними не может быть ребра, иначе это ребро вместе с цепями <tex>(v_0, u_1)</tex> и <tex>(v_0, u_2)</tex> образовали бы нечетный цикл.
}}
=== Раскраска в 2 цвета ===
Так как множество вершин двудольного графа можно разделить на 2 независимых подмножества так, что ни одна из вершин ни в одном из этих подмножеств не является смежной к вершине из этого же подмножества <tex>\Rightarrow</tex> граф <tex>G = (W,E)</tex> - 2-раскрашиваем. <tex>\chi(G) = 2</tex>.
Так как граф является двудольным тогда и только тогда, когда все циклы четны, определить двудольность можно за один проход в глубину.
На каждом шаге обхода в глубину метим вершину. Допустим мы пошли в первую вершину - добавляем ее в множество <tex> U </tex>. То есть ставим метку <tex> 1 </tex>. Затем просматриваем все смежные вершины и если не помечена вершина, то метим ее как <tex> 2 </tex> (то есть добавляем во множество <tex> V </tex> ) и рекурсивно переходим в нее. Если же она мечена и у нее такая же метка как у нашей - то все граф не двудольный.
===См. также ==
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/theory/graph-coloring-layout| Графы. Раскраски и укладки]
