Изменения
Нет описания правки
1) Если хотя бы одна вершина графа <tex>G</tex> недостижима из <tex>v</tex>, то требуемое дерево построить нельзя.<br>
2) Для каждой вершины <tex>u \ne v</tex> графа <tex>G</tex>, произведём следующую операцию: найдём ребро минимального веса, входящее в <tex>u</tex>, и вычтем вес этого ребра из весов всех рёбер, входящих в <tex>u</tex>. <tex>m(u) = \min \limits_{v \in V_0}w(vu), w'(vu) = w(vu) - m(u)</tex>.<br>
3) Строим граф <tex>K = (V,K_0)</tex>, где <tex>K_0</tex> - — множество рёбер нулевого веса графа <tex>G</tex> c весовой функцией <tex>w'</tex>. Если в этом графе найдётся остовное дерево с корнем в <tex>v</tex>, то оно и будет искомым.<br>4) Если такого дерева нет, то построим граф <tex>C</tex> - — конденсацию графа <tex>K</tex>. Пусть <tex>y</tex> и <tex>z</tex> - — две вершины графа <tex>C</tex>, отвечающие компонентам сильной связности <tex>Y</tex> и <tex>Z</tex> графа <tex>K</tex> соответственно. Положим вес ребра между вершинами <tex>y</tex> и <tex>z</tex> равным минимальному среди весов рёбер графа <tex>G</tex> с весовой функцией <tex>w'</tex>, идущих из <tex>Y</tex> в <tex>Z</tex>.<br>
5) Продолжим с пункта 2, используя граф <tex>C</tex> вместо <tex>G</tex>.<br>
6) В <tex>C</tex> построено MST <tex>T</tex>. Построим теперь MST <tex>T'</tex> в <tex>G</tex> с весовой функцией <tex>w'</tex>. Добавим к <tex>T'</tex> все вершины компоненты сильной связности графа <tex>K</tex>, которой принадлежит <tex>v</tex> (по нулевым путям из <tex>v</tex>). Пусть в <tex>T</tex> есть ребро <tex>yz</tex>, <tex>y</tex> отвечает компоненте сильной связности <tex>Y</tex>, а <tex>z</tex> - — компоненте сильной связности <tex>Z</tex> графа <tex>K</tex>. Между <tex>Y</tex> и <tex>Z</tex> в графе <tex>G</tex> с весовой функцией <tex>w'</tex> есть ребро <tex>y'z'</tex>, вес которого равен весу ребра <tex>yz</tex>. Добавим это ребро к дереву <tex>T'</tex>. Добавим к <tex>T'</tex> все вершины компоненты <tex>Z</tex> по нулевым путям из <tex>z'</tex>. Сделаем так для каждого ребра дерева <tex>T</tex>.<br>7) Полученное дерево <tex>T'</tex> - — MST в графе <tex>G</tex>.
== Корректность ==
1) После перевзвешивания в каждую вершину, кроме <tex>v</tex>, входит по крайней мере 1 ребро нулевого веса.<br>
2) Пусть <tex>T</tex> - — искомое дерево в <tex>G</tex> с весовой функцией <tex>w</tex>. <tex>w'(T) = w(T) - \sum \limits_{u \in V_0 \setminus v}m(u)</tex>, т.е. <tex>T</tex> - MST в <tex>G</tex> с весовой функцией <tex>w</tex> тогда и только тогда, когда <tex>T</tex> - — MST в <tex>G</tex> с весовой функцией <tex>w'</tex>.<br>
3) Пусть есть некоторый путь от вершины <tex>v</tex> до некоторой вершины <tex>u</tex> в графе <tex>G</tex> с весовой функцией <tex>w'</tex>. Тогда мы можем добавить к нашему дереву все вершины из компоненты сильной связности графа <tex>K</tex>, которой принадлежит вершина <tex>u</tex> (по нулевым путям из <tex>u</tex>). При этом вес нашего дерева не изменится.<br>
4) Если в графе <tex>K</tex> нет остовного дерева с корнем в <tex>v</tex>, то в графе <tex>C</tex> содержится меньше вершин, чем в графе <tex>G</tex>. Иначе, если бы в <tex>C</tex> было бы столько же вершин, сколько в <tex>G</tex>, то в <tex>K</tex> все компоненты сильной связности состояли бы из единственной вершины. Значит в <tex>G</tex> с весовой функцией <tex>w'</tex> не было бы нулевых циклов. То есть мы смогли бы построить в <tex>K</tex> остовное дерево с корнем в <tex>v</tex>, что противоречит нашему предположению.<br>
5) Из сделанных замечаний следует, что дерево <tex>T'</tex> - — MST в <tex>G</tex>.
== Сложность ==
