Изменения

<tex> (X, \mathcal A, \mu) </tex>, <tex> \mu </tex> — <tex> \sigma </tex>-конечная, полная: <tex> X = \bigcup\limits_p X_p : \mu X_p < + \infty </tex> <tex> \mu B = 0 , A \subset B \Rightarrow A \in \mathcal A, \mu A = 0 </tex> <tex> E \subset X, f: E \rightarrow \mathbb R </tex>, <tex> E (f </tex> обладает свойством <tex> P )</tex> — совокупность точек из <tex>E</tex>, для которых это свойство верно. <tex> a \in \mathbb R </tex>, <tex> E(f < a), E(f \le a), E(f > a), E(f \ge a) </tex> — множества Лебега функции <tex> f </tex>. {{TODOОпределение|tdefinition=Achtung! Тут немного пропущено<tex> f : E \rightarrow \mathbb R </tex> называется измеримой по Лебегу, если для любого <tex> a \in \mathbb R </tex> множества Лебега всех четырех типов измеримы(то есть принадлежат сигма-алгебре)}} {{Утверждение|about=Измеримость по Лебегу|statement=Функция измерима по Лебегу на <tex> E </tex> <tex> \Leftrightarrow </tex> для любого <tex> a </tex> измеримо её множество Лебега любого фиксированного типа.|proof=Пусть <tex> E(f < a) </tex> — измеримо для любого <tex> a </tex>. Установим измеримость остальных:# <tex> E(f \le a) = \bigcap\limits_{n = 1}^{\infty} E(f < a + \frac1n) </tex> — тоже измеримо, как счётное пересечение измеримых множеств.# <tex> E(f > a) = \overline{E(f \le a)} </tex> — тоже измеримо.# <tex> E(f \ge a) = \bigcap\limits_{n = 1}^{\infty} E(f > a - \frac1n) </tex> — аналогично, измеримо.}}

Аналогично измерима на <tex>E</tex>, <tex>f : E \to \mathcal{mathbb R}</tex>, <tex>f(x) = a_p, x\in E_p</tex>.

1 ) <tex>|f|</tex> {{---}} измерима<br>1.5 ) <tex>af</tex> {{---}} измеримо (<tex>a \in \mathbb{R}</tex>)<br>2 ) <tex>f^2</tex> {{---}} измеримо<br>4 3) <tex>fgf + g</tex> {{---}} измеримо<br>3 4) <tex>f + \cdot g</tex> {{---}} измеримо<br>|proof=Пункт 4 вытекает из прошлых: <tex>fg = \frac{(f+g)^2 - (f-g)^2}{4}</tex> 1 и 2 ) доказываются одинаково. Например,

Пункт 3 доказывать ) Доказывается чуть сложнее