1679
правок
Изменения
Нет описания правки
{{В разработке}}
Геометрический смысл интеграла Лебега.
E \subset \mathbb R^n, f : E \to (измерима) \mathbbR_+
G(f) = G = \{ (x_1, \dots , x_{n + 1} \in \mathbbR^{n+1} : (x_1 \dots x_n) \in E, 0 \le x_{n + 1} \le f(x_1, \dots x_n) \} — подграфик функции.
{{Теорема
|about=
о мере подграфика
|statement=
G(f) — измерим, \lambda_{n+1}(G) = \int\limits_E f d \lambda_n
Сначала установим, как факты, связанные с цилиндрами.
Если f(x1 \dots x_n) = c \ge 0 на E, то подграфик называется цилиндром в \mathbbR^{n + 1}.
Утверждение: G - цилиндр высоты c \ge 0, имеримое E \in \mathbbR^n — основание. Тогда он измерим и \lambda_{n+1} G = c \lambda_n E.
Доказательство:
схема — от простого к сложному, применяется критерий \mu^+ -измеримости(принципа исчерпывания).
1) Пусть E — параллелепипед (ячейка), то G тоже ячейка, формула выполняется.
2) Пусть E — открытое множество. Его можно записать в форме
E = \bigcup\limits_n \Delta_n — дизъюнктно
G_n = \Delta_n \times [a, c]
G - E \times [0, c] = \bigcup\limits_n G_n — дизъюнктны.
G_n — измеримы, следоватлеьно, G — измеримо.
По сигма-аддитивности меры \lambda_{n+1} G = \sum\limits_m \lambda_{n+1} G_m = \sum\limits_m c \lambda_n \Delta_m = c \sum\limits_m \lambda_n \Delta_m = c \lambda_n E
3) E — ограниченное замкнутое множество.
E \in \Delta — открытый параллелепипед.
\overline E = \Delta \setminus E — открыто — можно применить пункт 2:
\lambda_{n+1} \overline G = c \lambda_n \overline E
\lambda_{n+1} [\Delta \times [0, c]) = c \lambda_n \Delta_m
E = \Delta \setminus \overline E, \lambda_{n+1} G = \lambda_{n+1} (\Delta \times [0, c]) - \lambda_{n+1}(\overline G) = c(\lambda_n \Delta - \lambda_n \overline E) = c \lambda_n E
4) E — ограничено и измеримости
\forall \varepsilon > 0, по свойствам меры Лебега.
Пусть F_\varepsilon — замкнутое, G_\varepsilon — открытое:
F_\varepsilon \subset E \subset G_\varepsilon, \lambda_n G_\varepsilon - \lambda_n F_\varepsilon < \varepsilon.
F_\varepsilon \times [a, c] \subset G \subset G_\varepsilon \times [0, c].
\lambda_{n + 1} (G_\varepsilon \times [0, c]) - \lambda_{n+1} (F_\varepsilon \times [0, c]) = c (\lambda_n G_\varepsilon - \lambda_n F_\varepsilon) < c \varepsilon
\varepsilon — мало, следоватлеьно, по критерию \mu^*-измеримости, G — измеримо. По монотонности меры:
c \lambda_n F_\varepsilon \le \lambda_{n+1} G \le c \lambda_n G_\varepsilon
\lambda_n F_\varepsilon \le \lambda_n E \le \lambda_n G_\varepsilon (\varepsilon мало, это единственное число, которое можно вставить)
c: c \lambda_n F_\varepsilon \le c \lambda_n E \le \lambda_n G_\varepsilon \rightarrow \lambda_{n+1} G = c \lambda_n E.
5) E — измеримое множество.
Мера Лебега — сигма-конечна. E можно записывать как объединение возрастающих последовательностей ограниченных измеримых множеств, или как перемечение убывающих последовательностей ограниченных измеримых множеств, мера E = пределу мер.
Так же запишется цилиндр G, он окажется измеримым, переходим к переделу, победа.
Это утверждение позволяет стандартным образом доказать теорему.
}}
