Изменения
Нет описания правки
Пусть <tex> g </tex> {{---}} поток минимальной стоимости величины <tex>a + \delta</tex> в <tex>G</tex>. Представим <tex> g = f + f'</tex>, где <tex> f' </tex> - поток в остаточной сети <tex>G_f</tex>. Тогда разность <tex> g - f</tex> будет потоком в сети <tex>G_f</tex> и по [[Лемма о сложении потоков|лемме о сложении потоков]] его величина будет равна <tex>\delta</tex>.
По [[Теорема о декомпозиции|теореме о декомпозиции]] его <tex> g - f</tex> можно представить как сумму элементарных потоков вдоль путей <tex>P_i : s \leadsto t</tex> и циклов <tex>C_i</tex>. В этом представлении нет отрицательных циклов, иначе прибавление его к <tex> f </tex> даст поток меньшей стоимости. Если есть положительный цикл, то вычтем его из <tex> g </tex> и получим поток меньшей стоимости. Таким образом <tex>p(C_i) = 0</tex> для всех циклов.
Тогда <tex>p(g - f) = \sum\limits_{P_i} p(P_i)\cdot c_f(P_i) \geq p(P) \cdot \sum\limits_{P_i}c_f(P_i) = p(P) \cdot \delta</tex>.
