165
правок
Изменения
Нет описания правки
* '''Теорема Рисса — Фреше:''' Для любого непрерывного линейного функционала <tex>f</tex> на Гильбертовом пространстве <tex> H</tex> существует единственный вектор <tex>y \in H</tex> такой, что <tex>f(x)=(x,y)</tex> для любого <tex>x \in H</tex>. При этом норма линейного функционала <tex>f</tex> совпадает с нормой вектора <tex>y</tex>: <tex>\|f\|=\sup_{\|x\|=1} |f(x)|= \sqrt{(y,y)}</tex>. Теорема также означает, что пространство всех линейных ограниченных функционалов над <tex>H</tex> изоморофно пространству <tex>H</tex>.
*Теорема (Хан-Банах) о продолжении линейного функционала с сохранением мажоранты: любой линейный функционал <tex>f(x)</tex>, определённый на подпространстве <tex>L</tex> линейного пространства <tex>X</tex> и удовлетворяющий условию <tex>|f(x)| \leq p(x), \forall x \in L</tex>, где <tex>p(x)</tex> — некоторый положительно однородный функционал (определённый на всем пространстве <tex>X</tex>) то <tex>f(x)</tex> может быть продолжен на все пространство <tex>X</tex> с сохранением этого условия.
*Теорема (Хан-Банах) о непрерывном продолжении линейного функционала: всякий линейный функционал <tex>f(x)</tex>, определённый на линейном многообразии <tex>L</tex> линейного нормированного пространства <tex>X</tex>, можно продолжить на все пространство с сохранением нормы.
*Следствие: для любых двух различных точек линейного пространства существует линейный функционал, определённый на всем пространстве и такой, что его значения в этих точках различны.
