Изменения

<tex> f </tex> — ограниченная функция, <tex> E </tex> — измеримое множество конечной меры.

<tex> f </tex> — измерима \Rightarrow , следовательно, интеграл Лебега существует.

<tex> \exists \int\limits_E f d \lambda_n</tex>

<tex> \tau‘ tau: E = \bigcup\limits_{\tauj=1}^p e_\tau e_j </tex> — дизъюнктны(какой-то треш).

m_\tau <tex> m_j = \inf\limits_{e_\taue_j} f(x), M_\tau M_j = \sup\limits_{e_\taue_j} f(x) </tex>

<tex> \underline s (\tau) = \sum\limits_{?j=1}^p e_\tau m_\tau m_j \lambda_n e_\tau e_j </tex>

<tex> \underline G (\tau) = \bigcup\limits_{?=1}^p \lambda_{n+1} \underline G_\tau = \sum\limits_{?=1}^p m_? \lambda_n e_? G_j = e_j \underline{CHTO ETO ZA BUKVA????} (\tau)times [0, m_j] </tex>

Итак, <tex> \lambda_{n+1} \underline G(\tau) G_j = m_j \underline s(\tau)lambda_n e_j </tex>

В силу определения m_? ясно, что <tex> \underline G(\tau) = \subset G(f) bigcup\limits_{j=1}^p G_j </tex> — подграфик.дизъюнктны

Аналогично с M_? : <tex> \lambda_{n+1} \underline G(f\tau) = \subset sum\overline Glimits_{j=1}^p \lambda_{n+1} \underline G_j = \sum\limits_{j=1}^p m_j \lambda_n e_j = \underline s(\tau)</tex>

\lambda_{n+1} \overline G(\tau) - Итак, <tex> \lambda_{n+1} \underline G(\tau) = \overline s(\tau) - \underline s (\tau) — сколь угодно мала в силу существования интеграла за счет выбора разбиения \tau.</tex>

По критерию \mu^*-измеримости подграфик оказывается измеримым и В силу определения <tex> m_j </tex> ясно, что <tex> \underline sG(\tau) \le \lambda_{n+1} subset G(f) \le \overline s(\tau) = \lambda_{n+1} \overline G(\tau) </tex> — подграфик.

Аналогично с <tex> M_j : G(f) \subset \overline G(\tau) </tex> {{TODO|t=расписать}} <tex> \lambda_{n+1} \overline G(\tau) - \lambda_{n+1} \underline G(\tau) = \overline s(\tau) - \underline s (\tau) </tex> — сколь угодно мала в силу существования интеграла за счет выбора разбиения <tex> \tau </tex>. По критерию <tex> \mu^* </tex>-измеримости подграфик оказывается измеримым и <tex> \underline s(\tau) \le \lambda_{n+1} G(f) \le \overline s(\tau) = \lambda_{n+1} \overline G(\tau) </tex>  В этом неравенстве разбиение — любое. Между парой сумм Лебега-Дарбу можно вставить только интеграл, значит, <tex> \lambda_{n+1} G(f) = \int\limits_E f d \lambda_n</tex>. Базовый случай разобран.

1) <tex> \lambda_n E = + \infty</tex>. <tex> E_m </tex>(стрелка вверх o_O). <tex> \lambda_n E_m < + \infty</tex>. <tex> E = \bigcup\limits_m E_m </tex> — по сигма-конечности меры. <tex> f </tex> — ограничена на <tex> E</tex>. <tex> G_m </tex> (стрелка вверх) — подграфик <tex> f </tex> пшшш. <tex> \bigcup\limits_m G_m = G </tex> — измерима.

<tex> \lambda_{n+1} G = \lim \lambda_{n+1} G_m = \lim\limits_m \int\limits_{E_m} f d \lambda_n</tex>. По сигма-аддитивности интеграла = <tex> \int\limits_E f d \lambda_n </tex>. Формула доказана.

2) Если <tex> f </tex> не ограничена на <tex> E </tex> произв. меры, то выстраиваем так называемые срезки:

<tex> f_m(x) = \begin{cases} f(x), & f(x) \le m \\ m, & f(x) > m \end{cases}</tex>

<tex> f_m(x) </tex> — измеримая, <tex> f_m(x) \to (xrightarrow[m \to \infty) ]{} f(x) </tex>

<tex> f_m(x) </tex> — возрастает, <tex> f_m(x) \le f_{m+1} (x)</tex>

<tex> \int\limits_E f_m d \lambda_n \to \int\limits_E f d \lambda_n</tex>

<tex> G_m </tex> — подграфик срезки <tex> f_m</tex>

срезки — функция ограниченная. <tex> \int\limits_E f_m d \lambda_n = \lambda_{n+1} G_m \to \int\limits_E f d \lambda_n</tex>; с другой стороны <tex> f_n \to f, G_m </tex> (стрелка вверх), <tex> \bigcup\limits_m G_m = G </tex> — подграфик измерим и по сигма-аддитивности <tex> \lambda_{n+1} G = \lim\limits_m \lambda_m \lambda_{n+1} G_m = \int\limits_E f d \lambda_n</tex>. Формула выведена в общем случае.