689
правок
Изменения
м
добавил формулировки недостающих теорем
Цель этого параграфа {{---}} устрановить структуру множества, измеримого по Лебегу. Пойдём от простого к сложному, базируясь на общем критерии <tex>\mu^*</tex>-измеримости и на том, что <tex>\mathcal{A}</tex> {{---}} <tex>\sigma</tex>-алгебра.
== Измеримые по Лебегу множества ==
<tex>\forall\bar x \in \mathbb{R}^n</tex> обозначим за <tex>\Pi_p = [\bar x - \frac1p, \bar x + \frac1p)</tex>
Логика рассуждений во многих последующих теоремах будет такова: из множеств, измеримость которых ясна, путем счетного числа операций пересечения и объединения пошагово стоим интересующий нас объект.
== Теорема о внешней мере Лебега == {{TODOТеорема|tstatement=Далее следует теорема о лямбда со звездочкойПусть <tex> E \subset \mathbb R ^n. жуткое доказательствоТогда <tex> \lambda^*E = \inf\limits_{G: E \subset G} \lambda G </tex> (<tex> G </tex> - открытые множества).Далее идт |proof=пыщь-пыщь}} Выведем ряд ВАЖНЫХ важных следствийиз этой теоремы: {{Теорема|statement=Пусть <tex> E </tex> измеримо по Лебегу. Тогда:# <tex> \forall \varepsilon </tex> существует открытое <tex> G </tex>, такое, что <tex> E \subset G, \lambda(G \setminus E) < \varepsilon </tex>.# <tex> \forall \varepsilon </tex> существует замкнутое <tex> F </tex>, такое, что <tex> F \subset E, \lambda(E \setminus F) < \varepsilon </tex>.|proof=пыщь-пыщь}} {{Теорема|statement=Пусть <tex> E </tex> измеримо по Лебегу. Тогда <tex> \lambda E = \sup\limits_{F: F \subset E} \lambda F </tex> (F - замкнутые множества).|proof=пыщь-пыщь}} Если <tex> A = \bigcup\limits_m F_m </tex> замкнуто, то оно называется множеством типа <tex> F_{\sigma} </tex>. Если <tex> B = \bigcap\limits_m G_m </tex> открыто, то оно называется множеством типа <tex> G_{\Delta} </tex>. Такие множества также являются измеримыми по Лебегу (это очевидно?). {{Теорема|statement=Пусть <tex> E </tex> измеримо по Лебегу. Тогда оно представимо в виде <tex> E = A \cup B </tex>, причем A - множество типа <tex> F_{\sigma} </tex>, а <tex> \lambda B = 0</tex>.|proof=пыщь-пыщь}}
