}}
Выведем ряд важных следствий из этой теоремы:. Далее нам пригодятся множества <tex> \Delta_p = [-p; p) \times [-p; p) \times \ldots \times [-p; p), p \in \mathbb N </tex> Несложно заметить, что <tex>\mathbb R ^n = \bigcup\limits_{p=1}^{\infty} \Delta_p </tex>.
{{Теорема
# <tex> \forall \varepsilon </tex> существует замкнутое <tex> F </tex>, такое, что <tex> F \subset E, \lambda(E \setminus F) < \varepsilon </tex>.
|proof=
пыщьСначала докажем первый пункт теоремы. Если мера <tex> E </tex> конечна, то просто воспользуемся только что доказанной теоремой: <tex> \forall \varepsilon > 0 </tex> есть открытое <tex> G </tex>: <tex> \lambda G -пыщь\lambda E < \varepsilon</tex>. По аддитивности меры, <tex>\lambda G - \lambda E = \lambda (G \setminus E)</tex>, и требуемое выполнено. Рассмотрим теперь случай, когда мера <tex>E</tex> бесконечна: <tex>E = \bigcup\limits_{p=1}^{\infty} (E \cap \Delta_p) </tex>, для любого <tex>p</tex> верно: <tex>\lambda (E \cap \Delta_p) < \lambda (\Delta_p) < \infty</tex>. Случай конечной меры был доказан, поэтому <tex> \forall \varepsilon </tex> можно взять <tex> G_p </tex>, такое, что <tex> E \cap \Delta_p \subset G_p, \lambda(G_p \setminus (E \cap \Delta_p)) < \frac{\varepsilon}{2^p} </tex>. Возьмем в качестве требуемого множества <tex>G</tex> объединение всех <tex>G_p</tex>: <tex>G = \bigcup\limits_{p=1}^{\infty} G_p</tex> открыто и содержит <tex>E</tex>. <tex>G \setminus E = \bigcup\limits_{p=1}^{\infty} (G_p \setminus (E \cap \Delta_p))</tex> Тогда, по полуаддитивности внешней меры, <tex>\lambda (G \setminus E) \le \sum\limits_{p=1}^{\infty} (G_p \setminus (E \cap \Delta_p)) \le \sum\limits_{p=1}^{\infty} \frac{\varepsilon}{2^p} = \varepsilon</tex> Второй пункт доказывается переходом к дополнениям: Пусть <tex>\overline E = \mathbb R ^n \setminus E</tex>, по первому пункту, <tex> \forall \varepsilon </tex> есть открытое <tex> G:\ \overline E \subset G, \lambda(G \setminus \overline E) < \varepsilon </tex>. Пусть <tex>F = \overline G</tex>. По определению, <tex>F</tex> {{---}} замкнутое множество. Так как <tex>\overline E \subset G</tex>, то <tex>\overline G \subset E,\ \lambda(E\setminus F) = \lambda (G \setminus \overline E) < \varepsilon</tex>, и требуемые условия выполнены.
}}
