165
правок
Изменения
→1. Сопряженный оператор и его ограниченность
Будем работать с <tex>E</tex>, как с банаховым пространством.
'''Def''': Пространство всех линейных функционалов на <tex>E</tex> образует линейное пространство (прошлый семестр).
Это пространство называется '''сопряжённым''' к <tex>E</tex>, оно обычно обозначается <tex>E^*</tex>.
'''Def''': Пусть <tex>A:X\to Y</tex> — непрерывный линейный оператор действующий из банахова пространства <tex>X</tex> в банахово пространство <tex>Y</tex>. И пусть <tex>X^*, Y^*</tex> — сопряжённые пространства. Обозначим <tex>\forall x\in X, f\in Y^* \langle Ax,f\rangle =f(Ax)</tex>. Если <tex>f</tex> — фиксировано, то <tex>\langle Ax,f \rangle </tex> — линейный непрерывный функционал в <tex>X, \langle Ax,f \rangle \in X^*</tex>. Таким образом, для <tex>\forall f\in Y^*</tex> определён линейный непрерывный функционал из <tex>X^* </tex>, поэтому определён оператор <tex>A^*:Y^*\to X^*</tex>, такой что <tex>\langle Ax,f \rangle=\langle x,A^*f \rangle</tex>.
<tex>A^*</tex> называется '''сопряжённым оператором'''.
'''Th''': Пусть задан линейный оператор <tex>A:X\to Y</tex>. Тогда норма оператора <tex>A^*:Y^*\to X^*</tex> совпадает с нормой <tex>A</tex>.
===2. Ортогональные дополнения Е и Е*===
