165
правок
Изменения
→1. Сопряженный оператор и его ограниченность
Это пространство называется '''сопряжённым''' к <tex>E</tex>, оно обычно обозначается <tex>E^*</tex>.
'''Def''': Пусть <tex>A:XE\to YF</tex> — непрерывный линейный оператор действующий из банахова пространства <tex>XE</tex> в банахово пространство <tex>YF</tex>. И пусть <tex>XE^*, YF^*</tex> — сопряжённые пространства. Обозначим <tex>\forall x\in XE, f\in YF^* \langle Ax,f\rangle =f(Ax)</tex>. Если <tex>f</tex> — фиксировано, то <tex>\langle Ax,f \rangle </tex> — линейный непрерывный функционал в <tex>XE, \langle Ax,f \rangle \in XE^*</tex>. Таким образом, для <tex>\forall f\in YF^*</tex> определён линейный непрерывный функционал из <tex>XE^* </tex>, поэтому определён оператор <tex>A^*:YF^*\to XE^*</tex>, такой что <tex>\langle Ax,f \rangle=\langle x,A^*f \rangle</tex>.
<tex>A^*</tex> называется '''сопряжённым оператором'''.
'''Th''': Пусть задан линейный оператор <tex>A:XE\to YF</tex>. Тогда норма оператора <tex>A^*:YF^*\to XE^*</tex> совпадает с нормой <tex>A</tex>.
(оператор проектирования ??)
