Изменения
→Теорема Лебега
Покажем, что он равен нулю. Или, более общий факт: <tex>\mu B_m \to \mu B = 0</tex>.
Для этого воспользуемся тем, что <tex>\sup \mu E</tex> {{---}} конечен.
Так как <tex>B = \bigcap\limits_{m=1}^\infty B_m</tex>, то
Значит, <tex>\overline B = \overline B_1 \cup (\overline B_2 \setminus \overline B_1) \cup (\overline B_3 \setminus \overline B_2) \cup \ldots</tex>.
<tex>\overline B \subset E</tex>. Значит, <tex>\mu \overline B \leq \mu E < +\infty</tex>.
По <tex>\sigma</tex>-аддитивности, <tex>\mu\overline B = \mu\overline B_1 + \mu(\overline B_2 \setminus\overline B_1) + \mu(\overline B_3 \setminus \overline B_2) + \cdots</tex>.
<tex>\mu\overline B = \mu\overline B_1 - \mu \overline B_1 + \mu\overline B_2 - \mu \overline B_2 + \mu\overline B_3 - \cdots</tex>
Так как частичная сумма этого ряда с номером <tex> m </tex> — не что иное, как <tex> \mu \overline B_m </tex>, то <tex> \mu \overline B_m \rightarrow \mu \overline B </tex>.
<tex>\mu B_m = \mu E - \mu \overline B_m</tex>, <tex>\mu B = \mu E - \mu \overline B</tex>, отсюда <tex>\mu B_m \to \mu B</tex>.
