1679
правок
Изменения
добавил неразобранный случай
{{Утверждение
|statement=
<tex> G </tex> - цилиндр высоты c <tex> \ge 0 </tex>, измеримое <tex> E \in \mathbb R^n </tex> — основание. Тогда он измерим и при <tex> c > 0: \lambda_{n+1} G = c \lambda_n E </tex>, при <tex> c = 0: \lambda_{n+1} G = 0 </tex>.
|proof=
схема — от простого к сложному, применяется критерий <tex> \mu^+ </tex> -измеримости(принципа исчерпывания).
Из сигма-конечности меры Лебега, <tex> E = \bigcup\limits_{m=1}^{\infty} E_m </tex> — объединение возрастающих последовательностей ограниченных измеримых множеств. Цилиндр <tex> G = \bigcup\limits_{m=1}^{\infty} G_m </tex>, где <tex> G_m = E_m \times [0, c] </tex>. По уже доказанному, <tex> \lambda_{n+1} G_m = c \lambda_n E_m </tex>, а по свойствам меры, <tex> \lambda_{n+1} G = \lim \lambda_{n+1} G_m = c \lim \lambda_n E_m = c \lambda_n E </tex>.
6) Рассмотрим случай <tex> c = 0 </tex>.
Пусть <tex> \lambda_n E < + \infty </tex>, погрузим цилиндр <tex> G </tex> в цилиндр <tex> G' </tex> с тем же основанием, и сколь угодно малой высотой <tex> c' > 0 </tex>. Из этого получаем, что <tex> G </tex> измерим и его мера — нулевая.
В противном случае, представим E в виде счетного объединения множеств с конечной мерой. Тогда <tex> G = \bigcup\limits_{m=1}^{\infty} G_m </tex>, где <tex> G_m </tex> — цилиндр с основанием <tex> E_m </tex> и высотой 0. По доказанному, <tex> \lambda_{n+1} G_m = 0</tex>, а тогда и <tex> \lambda_{n+1} G = 0 </tex>.
}}
