Изменения

Геометрический В этом параграфе будет дан геометрический смысл интеграла Лебега.

{{Определение|definition=Пусть <tex> E \subset \mathbb R^n, f : E \to \mathbb R_+, f </tex> — измерима.<br>

<tex> G(f) = G = \{ (x_1 \ldots x_{n + 1}) \in \mathbb R^{n+1} : (x_1 \ldots x_n) \in E, 0 \le x_{n + 1} \le f(x_1 \ldots x_n) \} </tex> — '''подграфик функции'''.}}

<tex> G </tex> - цилиндр высоты c <tex> \ge 0 </tex>, измеримое <tex> E \in subset \mathbb R^n </tex> — основание. Тогда он измерим и при <tex> c > 0: \lambda_{n+1} G = c \lambda_n E </tex>, при <tex> c = 0: \lambda_{n+1} G = 0 </tex>.

схема — Доказательство ведем от простого к сложному, применяется критерий <tex> \mu^+ * </tex> -измеримости. 1) Пусть <tex> E </tex> — параллелепипед (принципа исчерпыванияячейка), тогда <tex> G </tex> тоже ячейка, формула выполняется.

12) Пусть <tex> E </tex> — параллелепипед (ячейка), то <tex> G </tex> тоже ячейка, формула выполняетсяоткрытое множество.Его можно записать в форме счетного объединения дизъюнктных ячеек:

2) Пусть <tex> E </tex> — открытое множество. Его можно записать в форме<tex> E = \bigcup\limits_n \Delta_n </tex> — дизъюнктно.

Пусть <tex> G_n = \Delta_n \times [0, c] </tex>;

<tex> G = E \times [0, c] = \bigcup\limits_n G_n </tex> — дизъюнктнытоже дизъюнктное объединение.

<tex> G_n </tex> — измеримы, следоватлеьноследовательно, <tex> G </tex> — измеримо.

По сигма-аддитивности меры , <tex> \lambda_{n+1} G = \sum\limits_m \lambda_{n+1} G_m = \sum\limits_m c \lambda_n \Delta_m = c \sum\limits_m \lambda_n \Delta_m = c \lambda_n E </tex>.

Возьмем некий открытый параллелепипед <tex> E \subset \Delta </tex> — открытый параллелепипед. , такой, что <tex> E \overline E = subset \Delta \setminus E </tex> — открыто — можно применить пункт 2:.

<tex> \overline E = \Delta \setminus E </tex> — открыто — можно применить пункт 2: <tex> \lambda_{n+1} \overline G = c \lambda_n \overline E </tex>.

<tex> \lambda_{n+1} [(\Delta \times [0, c]) = c \lambda_n \Delta </tex>

<tex> E = \Delta \setminus \overline E, \lambda_{n+1} G = \lambda_{n+1} (\Delta \times [0, c]) - \lambda_{n+1}(\overline G) = c(\lambda_n \Delta - \lambda_n \overline E) = c \lambda_n E </tex>.

4) <tex> E </tex> — ограниченное и измеримое.

Для произвольного <tex> \varepsilon > 0 </tex> подберем подбираем <tex> F_\varepsilon </tex> — замкнутое и <tex> G_\varepsilon </tex> — открытое:

<tex> \lambda_{n + 1} (G_\varepsilon \times [0, c]) - \lambda_{n+1} (F_\varepsilon \times [0, c]) = c (\lambda_n G_\varepsilon - \lambda_n F_\varepsilon) < c \varepsilon </tex>.

<tex> \varepsilon </tex> — мало, следоватлеьноследовательно, по критерию <tex> \mu^* </tex>-измеримости, <tex> G </tex> — измеримо. По монотонности меры:

Также, так как <tex> \lambda_n F_\varepsilon \le \lambda_n E \le \lambda_n G_\varepsilon </tex>, и то <tex> \lambda_{n+1} F_\varepsilon \le c \lambda_{n} E \le \lambda_{n+1} G_\varepsilon </tex>.

Так как Устремляя <tex> \varepsilon </tex> малок нулю, в пределе приходим к <tex> \lambda_{n+1} G = c \lambda_n E </tex>.

Из сигма-конечности меры Лебегаследует, что <tex> E = \bigcup\limits_{m=1}^{\infty} E_m </tex> — объединение возрастающих последовательностей ограниченных измеримых множеств.  Цилиндр <tex> G = \bigcup\limits_{m=1}^{\infty} G_m </tex>, где <tex> G_m = E_m \times [0, c] </tex>.  По уже доказанному, <tex> \lambda_{n+1} G_m = c \lambda_n E_m </tex>, а по свойствам меры, <tex> \lambda_{n+1} G = \lim \limits_m \lambda_{n+1} G_m = c \lim \limits_m \lambda_n E_m = c \lambda_n E </tex>.

Если <tex> f(x) \ge 0 </tex> и измерима на множестве <tex> E \in \mathbb R^n </tex>, то её подграфик <tex> G(f) </tex> — измерим, а <tex> \lambda_{n+1}(G) = \int\limits_E f d \lambda_n </tex>.

Представим <tex> \underline G</tex> как дизъюнктное объединение: <tex> \underline G = \bigcup_{j=1}^p \underline G_j </tex>, где <tex> G_j </tex> — дизъюнктны. Аналогично, для <tex> \overline G \bigcup_{j=1}^p \overline G_j </tex>.

<tex> \lambda_{n+1} \underline G(\tau) = \sum\limits_{j=1}^p \lambda_{n+1} \underline G_j = \sum\limits_{j=1}^p m_j \lambda_n e_j = \underline sS(\tau) </tex>

Разность <tex> \lambda_{n+1} \overline G(\tau) - \lambda_{n+1} \underline G(\tau) = \overline S(\tau) - \underline s S (\tau) </tex> — сколь угодно мала в силу существования интеграла за счет выбора разбиения <tex> \tau </tex>.

По критерию <tex> \mu^* </tex>-измеримости , подграфик <tex> G </tex> оказывается измеримым и <tex> \lambda_{n+1} \underline G(\tau) = \underline s(\tau) \le \lambda_{n+1} G(f) \le \lambda_{n+1} \overline G(\tau) = \overline S(\tau)</tex>

По теореме Леви:,