355
правок
Изменения
м
Убрал степени в опровергающем примере в начале
Пусть <tex> E </tex> измеримо, <tex> p \ge 1 </tex>.
<tex> L_p(E) = \{f </tex> - измерима на <tex> E, \int\limits_E {|f|}^p d \mu < + \infty \} </tex>, то есть пространство функций, суммируемых с <tex> p </tex>-ой степенью на <tex> E </tex>. Измеримость <tex> f </tex> на <tex> E </tex> принципиальна, так как в общем случае из измеримости <tex> |f|^p </tex> не вытекает измеримость <tex> f </tex>.
Пример, который подтверждает это:
<tex> f(x) = \begin{cases} 1, & x \in E \setminus E_1 \\ -1, & x \in E_1 \end{cases} </tex> — не измерима на <tex> E </tex>.
Но <tex> |f(x)|^p = 1 </tex> на <tex> E </tex> уже будет измеримой. Значит, из измеримости модуля не вытекает измеримость функции.
