689
правок
Изменения
м
→Единственность предела по мере: недочет в оформлении
|proof=
Определим следующие множества:
* <tex>P_n = E(|f - g| \ge 1/n\frac1n)</tex>* <tex>P'_{nk} = E(|f_k - f| \ge 1/\frac1{2n})</tex>* <tex>P''_{nk} = E(|f_k - g| \ge 1/\frac1{2n})</tex>
Заметим, что <tex>P_n \subset (P'_{nk} \cup P''_{nk})</tex>: если <tex>x \notin P'_{nk} \cup P''_{nk}</tex>, то <tex>|f_k(x) - f(x)| < 1/\frac1{2n}</tex> и <tex>|f_k(x) - g(x)| < 1/\frac1{2n}</tex>, а тогда <tex>|f(x) - g(x)| < |f(x) - f_k(x)| + |g(x) - f_k(x)| = 1 / n\frac1n</tex>, т.е. <tex>x \notin P_n</tex>.
По полуаддитивности меры <tex>\mu P_n \le \mu P'_{nk} + P''_{nk}</tex>. Сумма в правой части стремится к нулю при <tex>k \rightarrow \infty</tex>, следовательно, <tex>\mu P_n = 0</tex>. Поскольку <tex>E(f \neq g) = \bigcup\limits_{n = 1}^\infty P_n</tex>, то <tex>\mu E(f \neq g) \le \sum\limits_{n = 1}^\infty \mu P_n = 0</tex>, что и требовалось доказать.
