Изменения
Нет описания правки
Базой индукции будут переходы за 0 шагов.
Индукционный переход: пусть данное свойство выполняется для переходов длины <tex>k-1</tex>. Докажем , что верно и для переходов за <tex>k</tex> шагов.
Рассмотрим переход <tex>\langle S, \alpha \rangle \vdash^{k} \langle U, \varepsilon \rangle </tex>, а именно его последний шаг: <tex> \langle S, \alpha \rangle \vdash^{k-1} \langle Q, c \rangle \vdash \langle U, \varepsilon \rangle </tex>.Так как для <tex>k-1</tex> шагов верно, то <tex> S \Rightarrow^{k-1} \alpha c^{-1} Q </tex> , но по построению грамматики имеется правило <tex> Q \to c U</tex>, значит <tex> S \Rightarrow^{k-1} \alpha c^{-1} Q \Rightarrow \alpha c^{-1} c U = \alpha U</tex>. Таким образом , доказали для <tex>k</tex> шагов.
Докажем в обратную сторону, а именно из <tex> S \Rightarrow^* \alpha U </tex> следует <tex> \langle S, \alpha \rangle \vdash^* \langle U, \varepsilon \rangle </tex>. Доказательство так же проведем по индукции. Индукция будет идти по количеству примененных подряд правил.
Базой индукции будут строки, выводимые в грамматике из начального нетерминала <tex> S </tex> за 0 применений правил.
Индукционный переход: пусть верно для <tex>k-1</tex> применения правил. Рассмотрим произвольную строку, полученную за <tex>k</tex> применений правил. Рассмотрим последнее применение правила. Если оно имело вид <tex> A \to aB </tex>, значит в автомате возможен переход <tex> \langle A,a \rangle \vdash \langle B,\varepsilon \rangle </tex>, а если <tex> A \to a </tex>, то <tex> B </tex> является допускающим в автомате. Таким образом , свойство выполняется для <tex> k </tex> последовательно примененных правил. Эквивалентность языков автомата и грамматики доказана.
Теперь пусть имеется праволинейная грамматика. Построим по ней конечный детерминированный автомат.
Докажем, что если слово выводится в грамматике, то оно допускается автоматом. Рассмотрим последовательность применений правил, дающую слово <tex> \alpha </tex> длины <tex> k </tex>. Для каждого правила вида <tex> A \to aB </tex> в автомате существует переход из состояния <tex> A </tex> в состояние <tex> B</tex> по символу <tex> a </tex>. Таким образом, если после <tex> k-1 </tex> применения правил мы можем получить строку вида <tex> \alpha c^{-1}B </tex>, то в автомате имеется соответствующая последовательность переходов <tex> \langle S, \alpha \rangle \vdash^{k-1} \langle B, c \rangle </tex>, а поскольку можно вывести <tex> \alpha </tex>, то хотя бы для одной строки такого вида существует правило <tex> B \to c </tex>, а значит в автомате есть переход <tex> \langle B,c \rangle \vdash \langle ok,\varepsilon \rangle </tex>. Таким образом автомат допускает слово <tex> \alpha </tex>.
