Изменения
Нет описания правки
|definition =
'''Условной вероятностью''' события A при условии, что произошло событие B, называется число
<tex>{P}(A \mid B) = </tex> <tex dpi = "140">\frac{{P}(A\cap B)}{{P}(B)}</tex>, где <tex dpi = "140">A, B \subset \Omega</tex>.}}
== Замечания ==
* Если <tex dpi = "140">{P}(B) = 0</tex>, то изложенное определение условной вероятности неприменимо.
* Прямо из определения очевидно следует, что вероятность произведения двух событий равна:
: <tex dpi = "140">{P}(A\cap B) = {P}(A \mid B) {P}(B)</tex>.* Условная вероятность является вероятностью, то есть функция <tex>{Q_B}</tex>, заданная формулой: <tex dpi = "140">{Q_B}(A) = {P}(A \mid B ) </tex>,удовлетворяет всем аксиомам вероятностной меры: 1) <tex dpi = "140">{Q_B}(\oslash)= 0</tex> 2) <tex dpi = "140">{Q_B}(\Omega) = 1</tex> 3) <tex dpi = "140">\forall A \subset \Omega \enskip {Q_B}(A) \geq 0</tex> 4) Если события <tex dpi = "140">A_1, A_2, ... A_n</tex> не пересекаются, то <tex dpi = "140">{Q_B}(A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_n) = {Q_B}(A_1) + {Q_B}(A_2) + ... + {Q_B}(A_n)</tex> Доказательства: 1) <tex dpi = "140">{Q_B}(\oslash) = \frac{P(\oslash \cap B)}{P(B)} = \frac{P(\oslash)}{P(B)} = 0</tex> 2) <tex dpi = "140">{Q_B}(\Omega) = \sum\limits_{\omega \in \Omega}^{}\frac{P(\omega \cap B)}{P(B)} = \sum\limits_{\omega \in B}^{}\frac{P(\omega \cap B)}{P(B)} + \sum\limits_{\omega \in \Omega \setminus B}^{}\frac{P(\omega \cap B)}{P(B)} = \frac{P(B)}{P(B)} + \frac{P(\oslash)}{P(B)} = 1</tex> 3) <tex dpi = "140">\forall A \subset \Omega \enskip {Q_B}(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \geq 0</tex>, т. к. <tex dpi = "140">P(A \cap B) \geq 0</tex> и <tex dpi = "140">P(B) \geq 0</tex> 4) Пусть события <tex dpi = "140">A_1, A_2, ... A_n</tex> не пересекаются. Тогда: <tex dpi = "140">{Q_B}(A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_n) = \frac{P((A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_n) \cap B)}{P(B)} = \frac{P((A_1 \cap B) \cup (A_2 \cap B) \cup ... \cup (A_n \cap B))}{P(B)} = </tex> <tex dpi = "140"> = \frac{P(A_1 \cap B) + P(A_2 \cap B) + ... + P(A_n \cap B))}{P(B)} = {Q_B}(A_1) + {Q_B}(A_2) + ... + {Q_B}(A_n)</tex>
== Пример ==
Обозначим за <tex>A</tex> событие "достали чёрный шар" и за <tex>B</tex> событие "достали шар с чётным номером". Тогда <tex>P(B) = \frac{1}{2}</tex>, т. к. ровно половина шариков имеют чётный номер, а <tex>P(A \cap B) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}</tex>, т. к. только два шарика из двенадцати являются чёрными и имеют чётным номер одновременно.
Тогда по определению вероятность случайно вытащенного шарика с чётным номером оказаться чёрным равна <tex dpi = "140">{P}(A \mid B) = \frac{{P}(A\cap B)}{{P}(B)} = \frac{1}{3}</tex>
==См. также==
