* Быть сыном (отцом, бабушкой).
* Игра "Камень, ножницы, бумага". Камень побеждает ножницы, ножницы выигрывают у бумаги, но камень проигрывает бумаге и т. д.
== Отношение эквивалентности. Класс эквивалентности ==
Бинарное отношение <tex> R </tex> на множестве <tex> X </tex> называется ''отношением эквивалентности'', если оно [[Рефлексивное отношение|рефлексивно]], [[Симметричное отношение|симметрично]] и [[Транзитивное отношение|транзитивно]]. На письме обозначается, как <tex>\thicksim{,} \thickapprox{,} ={,} \equiv{,} \Leftrightarrow{.} </tex> Примером отношения эквивалентности может быть отношение ''иметь одинаковый рост'' на множестве людей.
{{Определение
|definition =
Бинарное отношение <tex>\thicksim</tex>, заданное на множестве <tex>X</tex> называется '''отношение эквивалентности''', если
* <tex> \forall ~a \in X\colon ~(a\thicksim a) </tex>
* <tex> \forall ~a, b \in X\colon ~(a\thicksim b)~ \Rightarrow ~(b\thicksim a)</tex>
* <tex> \forall ~a, b, c \in X\colon ~(a\thicksim b)~ \land ~(b\thicksim c)~ \Rightarrow ~(a\thicksim c)</tex>
}}
С ''отношением эквивалентности'' тесно связано разбиение множества на классы.
{{Определение
|definition =
Система непустых подмножеств <tex> \{ M_1, M_2,...,M_n\} </tex> множества <tex> M </tex> называется '''разбиением''' этого множества, если <tex> M = M_1 \cup M_2 \cup ... \cup M_n </tex> и при <tex> i \ne j\colon ~M_i \cap M_j = \varnothing{.} </tex> Сами множества <tex>M_1, M_2,...,M_n</tex> называются '''классами''' данного разбиения.
}}
''Классом эквивалентности'' <tex> C(a) </tex> элемента ''a'' называется подмножество элементов эквивалентных ''a''. Из определения следует, что, если <tex> b \in C(a) </tex>, то <tex> ~C(a)~ = ~C(b) </tex>. Класс эквивалентности элемента ''a'' обозначают: <tex> [a],~ a/^{\sim} , ~\overline{a} </tex>.
{{Определение
|definition =
Подмножество элементов множества <tex> X, </tex> эквивалентных данному элементу <tex> a, </tex> называется его '''классом эквивалентности''', т. е. <tex> [a] = \{ b ~ \in ~ X \mid a \thicksim b \}.</tex>
}}
Пусть <tex> a, b \in X </tex>, тогда либо <tex> [a] \cap [b] = \emptyset </tex>, либо <tex> [a] = [b] </tex>. Таким образом отношение эквивалентности порождает разбиение множества на ''классы эквивалентности''. Семейство всех классов эквивалентности образует множество, называемое ''фактор-множеством'', и обозначается <tex> X/^{\thicksim} </tex>.
== Примеры отношений эквивалентности ==
* ''Равенство'' - классический пример отношения эквивалентности на любом множестве, в т. ч. [[Вещественные числа|вещественных чисел]]
* Равенство по ''модулю:'' <tex> a \equiv b~(mod ~ m) </tex>
* В ''Евклидовой геометрии:''
** отношение подобия<tex> ("\thicksim ") </tex>
** отношение параллельности<tex>\colon ~ ("\parallel ") </tex>
** отношение конгруэнтности<tex>\colon ~ ("\cong ") </tex>
* Разбиение многоугольников по количеству вершин
* Оношение ''равносильности'' на множестве уравнений
* Отношение [[Мощность множества|равномощности]] множеств
* Отношение ''принадлежать к одному виду'' на множестве животных
* Отношение ''жить в одном городе'' на множестве людей
== Неэквивалентные отношения ==
* Отношения '''[[Частичный порядок|частичного порядка]]''' не являются симметричными
* Отношение ''иметь наибольший общий делитель больше 1'' нетранзитивное. Например, <tex> ~\gcd (2,6) = 2, ~\gcd (3,6) = 3, ~\gcd(2,3) = 1 </tex>
* Отношение ''быть родственниками'' на множестве людей нерефлексивное. Человек не может быть родственником самому себе
* Разбиение треугольников по свойствам сторон (разносторонние, равнобедренные, равносторонние) не образует классы эквивалентности, так как множество равносторонних треугольников является подмножеством равнобедренных треугольников
== Источники информации ==
