Изменения
Нет описания правки
На основе этой системы и строятся полиномы Жегалкина.
<!-- == Существование и единственность представления (теорема Жегалкина) ==
{{Теорема
|author=Жегалкина
Теперь достаточно лишь доказать, что различные полиномы реализуют различные функции. Предположим противное. Тогда приравняв два различных полинома и перенеся один из них в другую часть равенства, получим полином, тождественно равный нулю и имеющий ненулевые коэффициенты. Тогда рассмотрим слагаемое с единичным коэффициентом наименьшей длины, то есть с наименьшим числом переменных, входящих в него (любой один, если таких несколько). Подставив единицы на места этих переменных, и нули на места остальных, получим, что на этом наборе только одно это слагаемое принимает единичное значение, то есть нулевая функция на одном из наборов принимает значение 1. Противоречие. Значит, каждая булева функция реализуется полиномом Жегалкина единственным образом.
}}
-->
== Построение полинома Жегалкина ==
=== По таблице истинности ===
Пусть для функции <tex>f(x_1,x_2,..,x_n)</tex> задана таблица истинности. Запишем сначала данную функцию в виде полинома Жегалкина с неопределёнными коэффициентами. Затем по очереди подставляем всевозможные наборы в порядке увеличения количества единиц и находим коэффициенты с учётом того, что <tex> a \oplus 1 = \bar{a}</tex>, а <tex> a \oplus 0 = a</tex>. Можно показать, что за За каждую подстановку находим только один коэффициент.
'''Пример:'''
=== Преобразование [[Определение_булевой_функции#Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ)|дизъюнктивной нормальной формы]] ===
Этот способ основан на том, что <tex> X \oplus 1 = \bar{X} </tex>. Если функция задана в виде ДНФ, то можно сначала убрать дизъюнкцию, используя правило Де-Моргана, а все отрицания заменить прибавлением единицыпо модулю два, после чего раскрыть скобки по обычным правилам, при этом учитывая, что четное число одинаковых слагаемых равно нулю (так как <tex> X \oplus X = 0 </tex>), а нечетное число одинаковых слагаемых равно одному такому слагаемому. Либо же можно заменить дизъюнкцию по следующему правилу: <tex> A \lor B = AB \oplus A \oplus B </tex> <tex> (1) </tex>.
Если функция задана в СДНФ, то так как при любых значениях входных переменных в единицу обращается не более одного члена выражения, то достаточно просто заменить все дизъюнкции исключающим ИЛИ.
