Изменения

'''Инверсией''' (англ. ''inversion'') в перестановке <tex>P</tex> называется всякая пара индексов <tex>i, j</tex> такая, что <tex>1\leqslant i<j\leqslant n</tex> и <tex>P[i]>P[j]</tex>.

'''Таблицей инверсий''' (англ. ''inversion table'') перестановки <tex> P </tex> называют такую последовательность <tex> T = (t_1,t_2,\dots,t_n)</tex>, в которой <tex>t_i</tex> равно числу элементов перестановки <tex> P </tex>, стоящих в <tex> P </tex> левее числа <tex>i</tex> и больших <tex>i</tex>.

== Алгоритм построения за O(N²) ==

For '''for''' i = 1..n For '''for''' j = 1..(i - 1) '''if ''' P[j] > P[i] T[P[i]] = T[P[i]] + 1+Сложность данного алгоритма {{---}} <tex>O(n^2)</tex>. Уменьшить время работы можно используя алгоритм, похожий на [[Сортировка_слиянием |сортировку слиянием. ]]

Пусть дано разбиение перестановки на два списка, причём для каждого элемента дано число инверсий слева с элементами того же списка и известно, что все числа первого списка стоят левее всех чисел второго списка в исходной перестановке. Будем считать количество инверсий слева элементов обоих списков следующим образом: сливаем списки, аналогично [[Сортировка_слиянием |сортировке слиянием.]] Если в результат нужно записать элемент первого списка, то все нерассмотренные элементы второго списка больше, следовательно, количество инверсий для этого элемента не меняется. Если в результат нужно записать элемент второго списка, то все нерассмотренные элементы первого списка больше его и стоят левее. Следовательно, количество инверсий для этого элемента следует увеличить на количетво количество нерассмотренных элементов второго первого списка.

<font color=green>// ''inverses_merge'' {{---}} процедура, сливающая два списка пар</font> <font color=green>// ''inverses_get'' {{---}} процедура, рекурсивно получающая таблицу инверсий для перестановки</font> '''def ''' inverses_merge(ls1, ls2):

it1, it2 = 0, 0''null'' '''while ''' (it1 < len(ls1.length)) '''and ''' (it2 < len(ls2.length)): '''if ''' ls1[it1].item < ls2[it2].item:

it1 += 1+ '''else:''' result.append(item = ls2[it2].item, inverses = ls2[it2].inverses + len(ls1) .length - it1) it2 += 1+ '''while (''' it1 < len(ls1)):.length

it1 += 1+ '''while (''' it2 < len(ls2)):.length

it2 += 1+ '''return ''' result

'''def ''' inverses_get(ls): '''if len(''' ls) .length == 1: '''return ''' [(item = ls[0], inverses = 0)] '''else:''' '''return ''' inverses_merge(inverses_get(ls.first_half), inverses_get(ls.second_half))  Сложность представленного алгоритма есть <tex>O(n\log n)</tex>. Алгоритм с такой же сложностью можно построить с помощью [[Дерево_отрезков._Построение | дерева отрезков.]] == Алгоритм построения за O(N) == Для построения таблицы инверсий за линейное время воспользуемся [[Карманная сортировка | карманной сортировкой]]. При [[Карманная сортировка | карманной сортировке]] нужно определить карман <tex>B</tex>, в который попадет текущий элемент. Затем найти число элементов в старших карманах относительно <tex>B</tex>. Потом аккуратно подсчитать количество элементов, больших текущего в кармане <tex>B</tex>. Карман <tex>A</tex> считается старшим для кармана <tex>B</tex>, если любой элемент из <tex>A</tex> больше любого элемента из <tex>B</tex>.    '''int''' bucket_sort('''vector<int>''' permutation): '''int''' max = число больше permutation.size и из которого можно извлечь целый квадратный корень '''int''' bucket = sqrt(max) '''int''' answer = 0<font color=green> // изначально кол-во инверсий</font> '''list<list<int>>''' bank(bucket) '''for''' i = 0 to permutation.size '''int''' pos = (permutation[i] - 1) / (max / bucket) <font color=green>// Определяем в каком кармане должен лежать элемент</font> '''int''' newPosition = 0 '''while''' newPosition < bank[pos].size '''and''' bank[pos][newPosition] < permutation[i] <font color=green>// идем до позиции где должен стоять элемент permutation[i] </font> newPosition++ answer += bank[pos].size - newPosition <font color=green>// ищем сколько инверсий эленент создает в своем кармане</font> bank[pos].insert(newPosition, permutation[i]) <font color=green>// вставляем элемент в Карман на свою позицию </font> '''for''' i = position + 1 to bucket - 1 <font color=green>// ищем сколько инверсий он создает с элементами в других карманах</font> answer += bank[i].size '''return''' answer В разделе [[Карманная сортировка | карманная сортировка]] доказывается, что она работает за линейное время. Что касается подсчета инверсий, то в приведенной реализации происходит [[Карманная сортировка | карманная сортировка]] в online режиме и вся математическая часть подходит и под этот случай.

* inverses_merge — процедураСледует отметить, сливающая два списка пар* inverses_get — процедурачто хотя подсчет с помощью [[Карманная сортировка | карманной сортировки]] выполняется за линейное время, рекурсивно получающая таблицу но имеет очень большую константу поэтому подсчет инверсий для перестановкирассматриваемый выше за <tex>O(n\log n)</tex> работает быстрее .

Сложность представленного алгоритма есть <tex>O(n\log_2 n)</tex>. == Алгоритм с такой же сложностью можно построить с помощью дерева отрезков.восстановления ==

Для восстановления перестановки по таблицы инверсий <tex>T</tex> воспользуемся следующим соображением: единица стоит в перестановке на <tex>T_0</tex>-ом месте (индексируем элементы с нуля), так как остальные числа в перестановке больше единицы. Далее, если известны расположения всех чисел <tex>1, \dots, k</tex>, то число <tex>k + 1</tex> стоит на <tex>T_{k + 1}</tex>-ой ещё не занятой позиции: все числа, меньшие <tex>k + 1</tex> уже расставлены. Это рассуждение напрямую переписывается в код следующим образом: <font color=green>// ''j'' {{---}} счётчик пропущенных свободных позиций</font> <font color=green>// ''k'' {{---}} количество инверсий слева для элемента curr</font> <font color= Алгоритм восстановления green>// ''result'' {{---}} массив, в который записывается перестановка. Равенство элемента массива нулю обозначает, что эта позиция свободна.</font> '''def''' recover_straight(ls): n = ls.length result = array(0, n) curr = 1 '''for''' k '''in''' ls j = 0 '''for''' i = 0..(n - 1) '''if''' result[i] == 0 '''if''' j == k result[i] =curr '''break''' '''else:''' j++ curr++ '''return''' result

Приведём Этот простой алгоритм восстановления с использованием [[Сортировка слиянием|сортировки слиянием]], имеющий имеет сложность <tex>O(n\log_2n^2)</tex>— внутренний цикл делает до <tex>n</tex> итераций, внешний — ровно <tex>n</tex> итераций.

Пусть Видно, что для восстановления нужно узнавать <tex>\alphak</tex> и -ую свободную позицию. Это можно делать с помощью [[Дерево_отрезков._Построение | дерева отрезков]] следующим образом: построим дерево отрезков для суммы на массиве из единиц. Единица в позиции означает, что данная позиция свободна. Чтобы найти <tex>\betak</tex> - цепочки упорядоченных пар целых неотрицательных чисел <tex>[m_1ую свободную позицию, n_1]\dots[m_kнужно спускаться (начиная с корня) в левое поддерево если сумма в нём больше, n_k]чем </tex>. Рассмотрим двоичную операцию <tex>\circk</tex>, рекурсивно определенную на парах таких цепочек следующим образом: $([m, n]\alpha)\circ([m', n']\beta)=\left\{\begin{aligned}[] [m,n](\alpha \circ ([m'-m, n']\beta)), m \le m',\\ [m', n'](([m-m'-1, n]\alpha) \circ \beta), m>m'.\\ \end{aligned} \rightи в правое дерево иначе.$

Сопоставим каждому элементу таблицы инверсий его номер. Получится множество упорядоченных пар чисел <tex>[m_1, n_1]\dots[m_k, n_k]</tex>, где <tex>m_i</tex> {{---}} сам элемент, а <tex>n_i</tex> {{---}} его номер. Разобьём данные элементы на пары и произведём с ними операцию <tex>\circ</tex>. Получим некоторое количество цепочек упорядоченных пар. Также разбиваем их на пары и производим операцию <tex>\circ</tex>. Так действуем, пока не останется одна цепочка. Выписывая вторые элементы данных упорядоченных пар Данный алгоритм переписывается в том порядке, в каком они представлены в цепочке, получим первоначальную перестановку.код следующим образом:

Цепочка наподобие <texfont color=green>// ''build_segment_tree'' {{---}} строит дерево отрезков над массивом</font> <font color=green>// ''node'' {{---}} вершина дерева</font> <font color=green>// ''node.index'' {{---}} индекс соответствующего элемента в массиве для листа дерева</font> '''def''' recover(inv): n = inv.length tree = build_segment_tree(array(n, 1)) result = array(n) curr = 1 '''for''' k '''in''' inv node = tree.root '''while''' !node.is_leaf '''if''' k < node.left.value node = node.left '''else''' k -= node.left.value node = node.right result[4, 4node.index][= curr node.add(-1,3]</tex> представляет "_ _ _ _ 4 _ 3 _ ) curr++ '''return''' result  Этот алгоритм имеет сложность <tex>O(n \inftylog n)</tex>", где "_" означает пропуск. Операция : делается <tex>\alpha \circ \betan</tex> вставляет пропуски и заполнения из итераций цикла, в которой происходит спуск по дереву высоты <tex>O(\betalog n)</tex> и один запрос на место пропусков в дереве отрезков. Таким образом, время работы алгоритма на каждой итерации есть <tex>O(\alphalog n)</tex>.

* Рассмотрим пример построения таблицы инверсий и восстановления перестановки по таблице инверсий. Пусть дана перестановка <tex>[4(5, 7, 1, 6, 3, 24, 26, 18, 1, 1, 0]2)</tex> - . Следующая таблица инверсий.* показывает работу алгоритма за <tex>O(n \log n)</tex>[4,1]\circ[1на каждой строке один уровень рекурсии (на первой строке — самый глубокий). В скобках стоят пары: элемент перестановки, количество инверсий. Полужирным отмечены элементы,у которых обновилось значение количества инверсий на данном шаге. {| style = "border: 0px solid; background-color: gray; text-align: center; padding : 0" cellspacing = "2]"| style = "background-color: white; padding: 3px 6px" |(5, 0)| style = "background-color: white; padding: 3px 6px" |(7, [60)| style = "background-color: white; padding: 3px 6px" |(1,3]\circ[0)| style = "background-color: white; padding: 3px 6px" |(3,0)| style = "background-color: white; padding: 3px 6px" |(4], [0)| style = "background-color: white; padding: 3px 6px" |(6, 0)| style = "background-color: white; padding: 3px 6px" |(8, 0)| style = "background-color: white; padding: 3px 6px" |(2,0)|-|colspan = "2" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|(5]\circ[, 0), (7, 0)|colspan = "2" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|(1, 0), (3, 0)|colspan = "2" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|(4,0), (6], [10)|colspan = "2" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|'''(2,7]\circ[1)''',(8], [0)|-|colspan = "4" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|'''(1,9]\circ[2)''', '''(3, 2)''', (5, 0), (7, 0)|colspan = "4" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|'''(2, 3)''', (4, 0), (6, 0), (8,10]</tex>0)|-* <tex>[|colspan = "8" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|(1,2][), '''(2,1]\circ[6)''', (3,4][2),3]'''(4, [2)''',(5][, 0),'''(6]\circ[, 1)''',(7][, 0),(8], [0)|} Полученная таблица инверсий: <tex>(2, 6, 2, 2, 0,10][1, 0,9]0)</tex>. Восстановим перестановку по таблице инверсий, начиная с пустого массива. {| style = "border: 0px solid; background-color: grey; text-align: center; padding : 0;" cellspacing = "2"|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>\bf{1}</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>* |colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>[0</tex>|colspan = "1,2][2," style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>|colspan = "1][" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0,4][2,3]</tex>|colspan = "1" style = "background-color: #EEF; text-align: left; padding: 3px 6px"|пропускаем две свободных позиции и ставим <tex>\circ[bf{1}</tex>|-|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>|colspan = "1,7][" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0,5][</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>1</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0,6][</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0,8], [</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0,10][</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0,9]</tex>* |colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>\bf{2}</tex>[|colspan = "1," style = "background-color: #EEF; text-align: left; padding: 3px 6px"|пропускаем шесть свободных позиций и ставим <tex>\bf{2][}</tex>|-|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0,7][</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0,5][</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>1</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>\bf{3}</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0,</tex>|colspan = "1][" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0,4][</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0,6][</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>2</tex>|colspan = "1" style = "background-color: #EEF; text-align: left; padding: 3px 6px"|пропускаем две свободных позиции и ставим <tex>\bf{3}</tex>|-|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0,8][</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0,</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>1</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>3]</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>\circ[bf{4}</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0,10][</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>2</tex>|colspan = "1" style = "background-color: #EEF; text-align: left; padding: 3px 6px"|пропускаем две свободных позиции и ставим <tex>\bf{4}</tex>|-|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>\bf{5}</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0,9]</tex>* |colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>1</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>3</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>4</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>[0,10][</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0,</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>2][</tex>|colspan = "1" style = "background-color: #EEF; text-align: left; padding: 3px 6px"|не пропускаем свободных позиции и ставим <tex>\bf{5}</tex>|-|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>5</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>1</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>3</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>4</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>\bf{6}</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0,</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>2</tex>|colspan = "1" style = "background-color: #EEF; text-align: left; padding: 3px 6px"|пропускаем одну свободную позицию и ставим <tex>\bf{6}</tex>|-|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>5</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>\bf{7][}</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>1</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>3</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>4</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>6</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0,</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>2</tex>|colspan = "1" style = "background-color: #EEF; text-align: left; padding: 3px 6px"|не пропускаем свободных позиций и ставим <tex>\bf{7}</tex>|-|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>5]</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>7</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>1</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>3</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>4</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>6</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>\bf{8}</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>2</tex>|colspan = "1" style = "background-color: #EEF; text-align: left; padding: 3px 6px"|не пропускаем свободных позиций и ставим <tex>\bf{8}</tex>|} == См. также ==* [0,1][0,4Матричное представление перестановок][0,6] == Источники информации == * [0,8https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation Wikipedia {{---}} Permutation][0* Д. Кнут - Искусство программирования,том 3][0,9]</tex>{{---}} 29-31 с.