Изменения
Нет описания правки
Эргодические цепи могут быть '''регулярными''' или '''циклическими'''. Циклические цепи отличаются от регулярных тем, что в процессе переходов через определенное количество шагов (цикл) происходит возврат в какое-либо состояние. Регулярные цепи этим свойством не обладают.
==Стационарный режим==
Эргодические марковские цепи описываются сильно связанным графом. Это означает, что в такой системе возможен переход из любого состояния <tex>S_i</tex> в любое состояние <tex>S_{j}, (i,j \in \mathbb{N})</tex> за конечное число шагов.
Для эргодических цепей при достаточно большом времени функционирования (<tex>t \to \infty</tex>) наступает '''стационарный режим''', при котором вероятности <tex>P_i</tex> состояний системы не зависят от времени и не зависят от распределения вероятностей в начальный момент времени, т.е. <tex>P_i = const</tex>.
Для определения стационарных вероятностей <tex>P_i</tex> нахождения системы в состоянии <tex>S_{i}, i \in \mathbb{N}</tex> нужно составить систему <tex>n</tex> линейных однородных алгебраических уравнений с <tex>n</tex> неизвестными:
<tex>P_{i} = \sum\limits_{j=1}^{n}(P_{j} \times P_{ji})</tex>, где <tex>i \in \mathbb{N} ~~~ (1)</tex>
Причем, искомые вероятности должны удовлетворять условию:
<tex>\sum\limits_{j=1}^{n}(P_{i}) = 1</tex> или, что равносильно, <tex>P_{i} = 1 - \sum\limits_{j=1, j \ne i}^{n}(P_{j}) ~~~ (2)</tex>
Поэтому любое уравнение системы <tex>(1)</tex> можно заменить уравнением <tex>(2)</tex>.
Систему линейных алгебраических уравнений удобно составлять непосредственно по графу состояний. При этом в левой части уравнения записывается вероятность состояния, соответствующего рассматриваемой вершине графа, а в правой части - сумма произведений. Число слагаемых соответствует числу дуг графа, входящих в рассматриваемое состояние. Каждое слагаемое представляет произведение вероятности того состояния, из которого выходит дуга графа, на переходную вероятность, которой помечена соответствующая дуга графа.
==Основная теорема об эргодических распределениях==
==Пример==
[[File:Temp.gif|thumb|250px|Пример эргодической цепи]]
Рассмотрим эксперимент по бросанию честной монеты. Тогда соответствующая этому эксперименту марковская цепь будет иметь 2 состояния. Состояние меняется на противоположное, при бросании монеты, с вероятностью <tex>p = 0.5</tex> (если орёл — меняем состояние, если решка — не меняем).
Получается мы можем рассмотрим матрицу, следующего вида: <tex>p_{ij}=0.5, i,j=1,2</tex>. Такая матрица является стохастической, а, значит, корректно определяет марковскую цепь. Такая цепь является эргодической, так как существует эргодическое распределение <tex>\pi = (0.5,0.5)^{\top}</tex>, такое что <tex>\lim\limits_{n \to \infty} p_{ij}^{(n)} = \pi_j, i=1,2</tex>.
