Изменения

Рассмотрим две последующие подходящие дроби к <math>\alpha : \frac{P_k}{Q_k} </math> и <math> \frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}</math>. Пусть ни одна из них не удовлетворяет условию теоремы. Тогда имеем: <math>~|\alpha-\frac{P_k}{Q_k}|\geqslant\frac{1}{2Q_k^2}, ~|\alpha-\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}|\geqslant\frac{1}{2Q_k^2}</math>. Отсюда <math>~|\alpha-\frac{P_k}{Q_k}|+~|\alpha-\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}|\geqslant\frac{1}{2}(\frac{1}{2Q_k^2}+\frac{1}{2Q_{k+1}^2})</math>.Но поскольку <math>\alpha</math> лежит между <math>\frac{P_k}{Q_k}</math> и <math>\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}</math>, то <math>~|\alpha-\frac{P_k}{Q_k}|+~|\alpha-\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}| = ~|\frac{P_k}{Q_k}-\frac{P_kP_{k+1}}{Q_kQ_{k+1}}| = \frac{1}{Q_k Q_{k+1}}</math>, вследствие чего <math>\frac{1}{2}(\frac{1}{2Q_k^2}+\frac{1}{2Q_{k+1}^2})\leqslant\frac{1}{Q_k Q_{k+1}}</math>.