234
правки
Изменения
Нет описания правки
Пусть <tex>\xi</tex> - вектор-столбец, состоящий из единиц.
* <tex>\pi</tex> - вероятностный вектор, значит <tex>\pi \xi = 1</tex>(сумма его элементов равна 1), значит <tex>\pi A = \pi \xi \alpha = \alpha</tex>. Но <tex>\displaystyle \lim_{n \to \infty} \pi P^n = \pi A = \alpha</tex> - первый пункт доказан.
* Пусть <tex>\beta : \ \ \beta P = \beta</tex>. Тогда <tex>\forall n \ \beta P^n = \beta \Rightarrow \beta = \beta A = \alpha</tex>. Второй пункт доказан.
* <tex>\displaystyle \lim_{n \to \infty} P^n = A \Leftrightarrow P \cdot \lim_{n \to \infty} P^n = A \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty} P^n \cdot P = A</tex>. Третий пункт доказан.
