Изменения
Нет описания правки
Пусть ненулевой граф <tex> G </tex> связен и не имеет циклов нечетной длины. Выберем произвольно вершину <tex> u </tex> и разобьем множество всех вершин на на два непересекающихся множества <tex> U </tex> и <tex> V </tex> так, чтобы в <tex> U </tex> лежали вершины <tex> v_0 </tex>, такие что кратчайшая цепь <tex>(u, v_0)</tex> была чётной длины, а в <tex> V </tex> соответственно вершины <tex>v_1</tex>, для которых длина цепи <tex>(u, v_1)</tex> - нечётная. При этом <tex> u \in U </tex>
В графе <tex> G </tex> нет ребер <tex>ab</tex>, таких что <tex>a, b </tex> лежат одновременно в <tex> U </tex> и <tex>V</tex>. Поведем доказательство от противного. Пусть <tex>a, b \in V_0 </tex>. Зададим <tex> P_0 </tex> - кратчайшая <tex> (u, a) </tex> цепь, а <tex> P_1 </tex>- кратчайшая <tex> (u, b) </tex> цепь. Обе цепи четной длины. Пусть <tex> u </tex> - последняя вершина цепи <tex> P_0 </tex>, принадлежащая <tex> P_1 </tex>. Тогда подцепи от <tex> u </tex> до <tex> v_0 </tex> в <tex> P_0 </tex> и <tex>P_1</tex> имеют одинаковую длину (иначе бы противоречили выбору <tex> P_0 </tex> и <tex> P_1 </tex>). А так как подцепи одинаковы, то чётность у них одинакова, а значит в сумме с ребром <tex> ab </tex> они образуют цикл нечётной длины, что невозможно.
}}
== Раскраска в 2 цвета ==
Так как множество вершин двудольного графа можно разделить на 2 два независимых подмножества так, что ни одна из вершин ни в одном из этих подмножеств не является смежной к вершине из этого же подмножества <tex>\Rightarrow</tex> граф <tex>G = (W,E)</tex> - 2 - раскрашиваем. <tex>\chi(G) = 2</tex>. Так же, если граф 2 - раскрашиваем, значит множество его вершин можно разделить на два непересекающихся множества так, что в каждом из них не найдется двух смежных вершин, то граф является двудольным.
Так как граф является двудольным тогда и только тогда, когда все циклы четны, определить двудольность можно за один проход в глубину.
На каждом шаге обхода в глубину метим помечаем вершину. Допустим мы пошли в первую вершину - добавляем ее в множество <tex> U </tex>. То есть ставим метку помечаем её как <tex> 1 </tex>. Затем просматриваем все смежные вершины и если не помечена вершина, то метим ее как на ней пометку <tex> 2 </tex> (то есть добавляем во множество <tex> V </tex> ) и рекурсивно переходим в нее. Если же она мечена помечена и у нее такая на ней стоит та же метка как пометка, что и у нашей - то все той, из которой шли(в нашем случае <tex> 1 </tex>), значит граф не двудольный.
== Источники ==
