Изменения

Из последних двух неравенств следует, что <math>\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1}{Q_k^2}+\frac{1}{Q_{k+1}^2})\leqslant~|\frac{P_k}{Q_k}-\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}| = \frac{1}{Q_k Q_{k+1}}</math>. Умножив обе части на <math>Q_{k+1}^2</math> и перенеся все члены в левую часть получим: <math>(\frac{Q_{k+1}}{Q_k})^2 - \sqrt{5}(\frac{Q_{k+1}}{Q_k} + 1 \leqslant 0</math>. То есть <math>(\frac{Q_{k+1}}{Q_k}-\frac{\sqrt{5}}{2})^2 \leqslant \frac{1}{4}</math>, следовательно для целых чисел <math>\frac{Q_{k+1}}{Q_k} < \frac{1+\sqrt{5}}{2}</math>. Так как <math>\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}</math> и <math>\frac{P_{k+2}}{Q_{k+2}}</math> расположены по разные стороны от <math>\leqslant alpha</math>, то аналогично получаем <math>\frac{Q_{k+2}}{Q_{k+1}} < \frac{1+\sqrt{5}}{2}</math>. Пользуясь рекуррентным соотношением получаем <math>\frac{1+\sqrt{5}}{2} > \frac{Q_{k+2}}{Q_{k+1}} = \frac{Q_{k+1}a_{k+1}+Q_k}{Q_{k+1}} = a_{k+1} + \frac{Q_k}{Q_{k+1}} > 1 + \frac{2}{1+\sqrt{5}} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}. Пришли к противоречию. Значит одной из трёх последовательных подходящих дробей будет выполняться условие теоремы. Тогда придавая различные значения <math>k</math> получим бесконечно много дробей, для которых выполняется условие теоремы. q.e.d.