221
правка
Изменения
м
===Доказательство==|proof=
Окружение math заменено на tex в первой теореме. Применен шаблон Теорема. Пока расширение parserfunctions не установлено будет некрасивый {{{author}}}.
Цепные дроби позволяют находить рациональные приближения вещественных чисел. Если действительное иррациональное число <math>\alpha</math> разложить в цепную дробь, то точность n-ой подходящей дроби будет соответствовать следующему неравенству:
<mathtex>~|\alpha-\frac{P_i}{Q_i}| < \frac{1}{Q_i * \cdot Q_{i+1}} < \frac{1}{Q_i^2}</mathtex>.
==Теорема 1==
{{Теорема|statement=Для любого иррационального числа <mathtex>\alpha</mathtex> существует бесконечное число дробей <mathtex>\frac{P}{Q}</mathtex> таких, что <mathtex>~|\alpha-\frac{P}{Q}|<\frac{1}{2Q^2}</mathtex>.===Доказательство==|proof=Рассмотрим две последующие подходящие дроби к <mathtex>\alpha : \frac{P_k}{Q_k} </mathtex> и <mathtex> \frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}</mathtex>. Пусть ни одна из них не удовлетворяет условию теоремы. Тогда имеем: <mathtex>~|\alpha-\frac{P_k}{Q_k}|\geqslant\frac{1}{2Q_k^2}, ~|\alpha-\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}|\geqslant\frac{1}{2Q_{k+1}^2}</mathtex>. Отсюда <mathtex>~|\alpha-\frac{P_k}{Q_k}|+~|\alpha-\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}|\geqslant\frac{1}{2Q_k^2}+\frac{1}{2Q_{k+1}^2}</mathtex>.Но поскольку <mathtex>\alpha</mathtex> лежит между <mathtex>\frac{P_k}{Q_k}</mathtex> и <mathtex>\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}</mathtex>, то <mathtex>~|\alpha-\frac{P_k}{Q_k}|+~|\alpha-\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}| = ~|\frac{P_k}{Q_k}-\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}| = \frac{1}{Q_k Q_{k+1}}</mathtex>, вследствие чего <mathtex>\frac{1}{2Q_k^2}+\frac{1}{2Q_{k+1}^2}\leqslant\frac{1}{Q_k Q_{k+1}}</mathtex>. Следовательно <mathtex>(\frac{1}{Q_k}-\frac{1}{Q_{k+1}})^2 \leqslant 0</mathtex>, что невозможно. Мы пришли к противоречию. Поэтому , по крайней мере для одной из двух подходящих дробей выполнено условие теоремы. Придавая различные значения <tex>k</tex>, получим бесконечное множество дробей, удовлетворяющих условию теоремы. q.e.d.}}
==Теорема 2==
{{Теорема
|statement=
Для любого иррационального числа <math>\alpha</math> существует бесконечное число дробей <math>\frac{P}{Q}</math> таких, что <math>~|\alpha-\frac{P}{Q}|<\frac{1}{\sqrt{5}Q^2}</math>
Рассмотрим три последующие подходящие дроби к <math>\alpha : \frac{P_k}{Q_k}, \frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}} </math> и <math> \frac{P_{k+2}}{Q_{k+2}}</math>. Пусть ни одна из них не удовлетворяет условию теоремы. Тогда имеем: <math>~|\alpha-\frac{P_k}{Q_k}|\geqslant\frac{1}{\sqrt{5}Q_k^2}, ~|\alpha-\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}|\geqslant\frac{1}{\sqrt{5}Q_{k+1}^2}, ~|\alpha-\frac{P_{k+2}}{Q_{k+2}}|\geqslant\frac{1}{\sqrt{5}Q_{k+2}^2}</math>.
Пользуясь рекуррентным соотношением получаем <math>\frac{1+\sqrt{5}}{2} > \frac{Q_{k+2}}{Q_{k+1}} = \frac{Q_{k+1}a_{k+1}+Q_k}{Q_{k+1}} = a_{k+1} + \frac{Q_k}{Q_{k+1}} > 1 + \frac{2}{1+\sqrt{5}} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}</math>. Пришли к противоречию. Значит для одной из трёх последовательных подходящих дробей будет выполняться условие теоремы. Тогда придавая различные значения <math>k</math> получим бесконечно много дробей, для которых выполняется условие теоремы. q.e.d.
}}
==Теорема 4==
