200
правок
Изменения
→Источники информации
== Регулярные языки: два определения и их эквивалентность ==
{{Определение
|id = REG1
|definition =
'''Регулярный языкМножество регулярных языков''' (англ. ''set of regular languages'') <tex> Reg \mathrm{REG}</tex> над алфавитом <tex> \Sigma = \left\{c_1, c_2, \ldots ,c_k \right\} </tex> {{---}} языкмножество, который которое может быть получен получено из языков, каждый из букв алфавита которых содержит единственное слово {{---}} <tex>c_i</tex> или <tex>\varepsilon</tex>, и пустого языка при помощи последовательных применений операций объединения, конкатенации или итерации замыкания Клини и никаких других, то есть:* Определим регулярные языки нулевого уровня как <tex> \mathrm{R_0}=\left\{\varnothing, \left\{\varepsilon \right\}, \left\{c_1 \right\}, \left\{c_2 \right\} , \ldots, \left\{c_k \right\} \right\} </tex>.* Регулярные языки ненулевого уровня определим рекуррентным соотношением: <tex> \mathrm{R_{i+1}} = \mathrm{R_i} \cup \left\{L_1 \cup L_2, L_1L_2, L_1^* | L_1, L_2 \in \mathrm{R_i}\right\} </tex>.* Тогда <tex>\mathrm{REG} = \bigcup\limits_{i=0}^{\infty}\mathrm{R_i}</tex>.}} {{Определение|definition = '''Регулярное выражение''' (англ. ''regular expression'') над алфавитом <tex> \Sigma = \left\{c_1, c_2, \ldots ,c_k \right\} </tex> {{---}} способ порождения языка над <tex>\Sigma</tex>. Определяется рекурсивно следующим образом:
}}
{{Определение
|id = REG2
|definition =
Пусть задан алфавит <tex> \Sigma = \left\{c_1, c_2, \ldots ,c_k \right\} </tex>.
Множество <tex>\mathrm{R}</tex> будем называть ''надрегулярным'' множеством над алфавитом <tex> \Sigma </tex>, если:
#<tex>\mathrm{R_0 } \subset \mathrm{R}</tex>, где <tex>\mathrm{R_0}=\left\{\varnothing, \left\{\varepsilon \right\}, \left\{c_1 \right\}, \left\{c_2 \right\}, \ldots, \left\{c_k \right\} \right\}</tex>,#<tex> L_1, L_2 \in \mathrm{R } \Rightarrow L_1 \cup L_2 \in \mathrm{R}, L_1L_2 \in \mathrm{R}, L_1^* \in \mathrm{R}</tex>. Тогда '''регулярным языкоммножеством регулярных языков''' <tex>Reg\mathrm{REG'} </tex> над алфавитом <tex> \Sigma = \left\{c_1, c_2, ... \ldots ,c_k \right\} </tex> называется пересечение всех надрегулярных множеств: <tex>Reg'=\bigcap\limits_{R - nadreg}R</tex>над этим алфавитом.
}}
{{Теорема
|statement=
|proof=
Докажем, что <tex>Reg \subset Regmathrm{REG} \subseteq \mathrm{REG'}</tex> и <tex>Reg\mathrm{REG' } \subseteq \subset Regmathrm{REG}</tex>.
*'''<tex>Reg \subset Regmathrm{REG} \subseteq \mathrm{REG'}</tex>'''По определению <tex>\mathrm{REG} = \bigcup\limits_{i=0}^{\infty}\mathrm{R_i}</tex>. Покажем, что <tex>\bigcup\limits_{i=0}^{\infty}\mathrm{R_i} \subseteq \mathrm{R}</tex>, где <tex>\mathrm{R}</tex> {{---}} любое надрегулярное множество. Для этого докажем по индукции по <tex>i</tex>, что <tex>\mathrm{R_i} \subseteq \mathrm{R}</tex> для любого <tex>i</tex>.# База: <tex>i = 0</tex>.#: <tex>\mathrm{R_0} \subseteq \mathrm{R}</tex> по определению надрегулярного множества.# Переход: известно, что <tex>\mathrm{R_i} \subseteq \mathrm{R}</tex>, докажем, что <tex>\mathrm{R_{i + 1}} \subseteq \mathrm{R}</tex>.#: По определению надрегулярного множества для любых <tex>L_1, L_2 \in \mathrm{R_i} \subseteq \mathrm{R}</tex> верны утверждения: <tex>L_1 \cup L_2 \in \mathrm{R}, L_1L_2 \in \mathrm{R}, L_1^* \in \mathrm{R}</tex>. То есть: <tex>\left\{L_1 \cup L_2, L_1L_2, L_1^* | L_1, L_2 \in \mathrm{R_i}\right\} \subseteq \mathrm{R}</tex>. Вспоминая [[#REG1 | определение]] <tex>\mathrm{R_{i + 1}}</tex> и предположение индукции (<tex>\mathrm{R_i} \subseteq \mathrm{R}</tex>), получаем, что <tex>\mathrm{R_{i + 1}} \subseteq \mathrm{R}</tex>.Так как <tex>\mathrm{REG} \subseteq R</tex> для любого надрегулярного множества <tex>R</tex>, получаем, что <tex> \mathrm{REG} \subseteq \mathrm{REG'} </tex>.
= Литература =* ''Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д.'' — '''Введение в теорию автоматов, языков и вычислений''', 2-е изд. : Пер. с англ. — Москва, Издательский дом «Вильямс», 2002. — 528 с. : ISBN 5-8459-0261-4 (рус.)Источники информации ==
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Regular_language Wikipedia {{---}} Regular language]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Regular_expression Wikipedia {{---}} Regular expression]
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B5%D0%B3%D1%83%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D1%8F%D0%B7%D1%8B%D0%BA Википедия {{---}} Регулярный язык]
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B5%D0%B3%D1%83%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%B2%D1%8B%D1%80%D0%B0%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F#.D0.92_.D1.82.D0.B5.D0.BE.D1.80.D0.B8.D0.B8_.D1.84.D0.BE.D1.80.D0.BC.D0.B0.D0.BB.D1.8C.D0.BD.D1.8B.D1.85_.D1.8F.D0.B7.D1.8B.D0.BA.D0.BE.D0.B2 Википедия {{---}} Регулярные выражения]
[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Автоматы и регулярные языки]]