Изменения

Для любого иррационального числа <mathtex>\alpha</mathtex> существует бесконечное число дробей <mathtex>\frac{P}{Q}</mathtex> таких, что <mathtex>~|\alpha-\frac{P}{Q}|<\frac{1}{\sqrt{5}Q^2}</mathtex>

Рассмотрим три последующие подходящие дроби к <mathtex>\alpha : \frac{P_k}{Q_k}, \frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}} </mathtex> и <mathtex> \frac{P_{k+2}}{Q_{k+2}}</mathtex>. Пусть ни одна из них не удовлетворяет условию теоремы. Тогда имеем: <mathtex>~|\alpha-\frac{P_k}{Q_k}|\geqslant\frac{1}{\sqrt{5}Q_k^2}, ~|\alpha-\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}|\geqslant\frac{1}{\sqrt{5}Q_{k+1}^2}, ~|\alpha-\frac{P_{k+2}}{Q_{k+2}}|\geqslant\frac{1}{\sqrt{5}Q_{k+2}^2}</mathtex>.

Так как <mathtex>\frac{P_k}{Q_k}</mathtex> и <mathtex>\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}</mathtex> расположены по разные стороны от <mathtex>\alpha</mathtex>, то при нечётном <mathtex>k</mathtex> имеем <mathtex>\frac{P_k}{Q_k}+\frac{1}{\sqrt{5}Q_k^2}\leqslant\alpha\leqslant\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}-\frac{1}{\sqrt{5}Q_{k+1}^2} </mathtex>, а при чётном <mathtex> k </mathtex> - <mathtex>\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}+\frac{1}{\sqrt{5}Q_{k+1}^2}\leqslant\alpha\leqslant\frac{P_k}{Q_k}-\frac{1}{\sqrt{5}Q_k^2}</mathtex>.

Из последних двух неравенств следует, что <mathtex>\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1}{Q_k^2}+\frac{1}{Q_{k+1}^2})\leqslant~|\frac{P_k}{Q_k}-\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}| = \frac{1}{Q_k Q_{k+1}}</mathtex>. Умножив обе части на <mathtex>Q_{k+1}^2</mathtex> и перенеся все члены в левую часть получим: <mathtex>(\frac{Q_{k+1}}{Q_k})^2 - \sqrt{5}(\frac{Q_{k+1}}{Q_k}) + 1 \leqslant 0</mathtex>. То есть <mathtex>(\frac{Q_{k+1}}{Q_k}-\frac{\sqrt{5}}{2})^2 \leqslant \frac{1}{4}</mathtex>, следовательно для целых <mathtex>Q_k</mathtex> и <mathtex>Q_{k+1}</mathtex> имеем <mathtex>\frac{Q_{k+1}}{Q_k} < \frac{1+\sqrt{5}}{2}</mathtex>.

Так как <mathtex>\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}</mathtex> и <mathtex>\frac{P_{k+2}}{Q_{k+2}}</mathtex> расположены по разные стороны от <mathtex>\alpha</mathtex>, то аналогично получаем <mathtex>\frac{Q_{k+2}}{Q_{k+1}} < \frac{1+\sqrt{5}}{2}</mathtex>.

Пользуясь рекуррентным соотношением получаем <mathtex>\frac{1+\sqrt{5}}{2} > \frac{Q_{k+2}}{Q_{k+1}} = \frac{Q_{k+1}a_{k+1}+Q_k}{Q_{k+1}} = a_{k+1} + \frac{Q_k}{Q_{k+1}} > 1 + \frac{2}{1+\sqrt{5}} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}</mathtex>. Пришли к противоречию. Значит для одной из трёх последовательных подходящих дробей будет выполняться условие теоремы. Тогда придавая различные значения <mathtex>k</mathtex> получим бесконечно много дробей, для которых выполняется условие теоремы. q.e.d.