*'''<tex>Reg \subset Reg'</tex>'''
*:По определению <tex>Reg = \bigcup\limits_{i=0}^{\infty}R_i</tex>.
Рассмотрим любое множество <tex> R_i </tex> и любое надрегулярное множество <tex> R </tex>: <tex>R_i \subset R</tex> (следует из определения <tex>R_i</tex> и определения надрегулярного множества).
*:Это верно для любого надрегулярного множества <tex>R</tex>, следовательно <tex> R_i \subset Reg'</tex>. Также это выполнено для любого <tex> R_i </tex>, значит <tex> \bigcup\limits_{i=0}^{\infty}R_i \subset Reg' </tex>.
*'''<tex>Reg' \subset Reg</tex>'''
*:Докажем, что <tex> Reg </tex> является надрегулярным множеством. Для этого проверим, выполняются ли свойства надрегулярного множества на нём: *# <tex> R_0 \subset Reg </tex> {{---}} выполнено (по определению <tex>Reg</tex>).*# Рассмотрим <tex>L_1, L_2 \in Reg</tex>. Так как <tex>Reg = \bigcup\limits_{i=0}^{\infty}R_i</tex>, то <tex> \exists i : L_1\in R_i </tex> и <tex> \exists j : L_2 \in R_j </tex>. Тогда из определения <tex> Reg </tex> следует, что <tex> L_1L_2 \in R_{max(i, j)+1}, L_1 \cup L_2\in R_{max(i, j)+1}, L_1^* \in R_{i + 1}</tex>. Так как <tex>Reg = \bigcup\limits_{i=0}^{\infty}R_i</tex>, то получаем, что <tex> L_1L_2 \in Reg, L_1 \cup L_2\in Reg, L_1^* \in Reg </tex>. Следовательно, второе свойство также выполнено.*: Значит, <tex>Reg</tex> {{---}} надрегулярное множество. А так как <tex>Reg'=\bigcap\limits_{\text{R- nadreg}}R</tex>, то <tex>Reg' \subset Reg</tex>.
}}
