Изменения
Нет описания правки
{{В разработке}}
{{Теорема
|statement=
[[Файл: prime_c.png|thumb|600px|center|Для вершины 2 находим последнее ее вхождение в цикл и удаляем отрезок цикла, выделенный <font color=#22B14C>зеленым.</font><br>[(2, 5) - 5 - (5, 6) - 6 - (6, 4) - 4 - (4, 2) - 2]]]
{{Лемма
|statement=Наличие двух различных рёберно-простых путей между какими-либо двумя вершинами графа <tex>G</tex> равносильно наличию цикла в этом графе.
|proof=
"<tex>\Rightarrow</tex>"
Предположим, что в графе <tex>G</tex> существует два различных реберно-простых пути между вершинами <tex>u</tex> и <tex>v</tex>. Пусть это будут пути <tex>p = u e_1 v_1\ldots v_{n-1} e_n v</tex> и <tex>p' = u e'_1 v'_1\ldots v'_{n-1} e'_n v</tex>. Пусть их наибольший общий префикс заканчивается в вершине <tex>w = v_k = v'_l</tex>. Заметим, что <tex>w \neq v</tex>, т. к. пути различны. Рассмотрим суффиксы путей <tex>p</tex> и <tex>p'</tex>: <tex>s = w e_{k+1} \ldots v</tex> и <tex>s' = w e'_{l+1} \ldots v</tex> соответственно. Найдем первую совпадающую вершину <tex>w'</tex> в <tex>s</tex> и <tex>s'</tex>, не равную <tex>w</tex>. Осталось заметить, что замкнутый путь <tex>c</tex>, полученный объединением <tex>w \rightarrow w'</tex> части пути <tex>s</tex> вместе с <tex>w' \rightarrow w</tex> частью цепи <tex>s'</tex> является циклическим путем. Действительно, т. r. в путях <tex>s</tex> и <tex>s'</tex> двух ребер подряд не бывает, т.к. это реберно простые пути, а ребра, смежные с <tex>w</tex> и <tex>w'</tex> не совпадают по построению. Циклический путь <tex>c</tex> является представителем некоторого цикла в графе <tex>G</tex>.
"<tex>\Leftarrow</tex>"
Предположим, что в графе <tex>G</tex> существует цикл и пусть циклический путь <tex>c = v_0 e_1 v_1 \ldots e_n v_0</tex> {{---}} его представитель. Найдем первую точку <tex>w = v_k = v_l (l > k)</tex> пересечения<tex>c</tex> с самим собой. Необходимо такая точка существует, т.к. путь замкнутый. Рассмотрим циклический путь <tex>v_k e_{k+1} \ldots e_l v_l</tex> он простой, т. к. если это неверно и существует вершина <tex>v_j = v_j' (k < j < j' < l)</tex>, то <tex>c</tex> пересекает сам себя первый раз в вершине <tex>v_j'</tex> встречающейся раньше, чем <tex>v_l</tex>.
}}
== Замечания ==
* Утверждение
''Если две вершины графа лежат на цикле, то они лежат на простом цикле.''
