143
правки
Изменения
часть 1
{{Теорема
|statement=
Язык распознается машиной Тьюринга тогда и только тогда, когда он генерируется формальной грамматикой
|proof=
<tex>\Rightarrow</tex> <br>
Пусть <tex>G = (N, \Sigma, P, S)</tex> — грамматика и <tex>L = L(G)</tex>. Опишем неформально недетерминированную машину Тьюринга <tex>Tm</tex>, допускающую <tex>L</tex>.<br>
<tex>Tm = (Q, \Sigma, \Gamma, D, q_0, F)</tex>, где <tex>\Gamma = T \cup \Sigma \cup \{B,\#,X\}</tex> и <tex>B,\#,X \notin N \cup \Sigma</tex><br>
Вначале <tex>Tm</tex> содержит на ленте <tex>w \in \Sigma*</tex>. <tex>Tm</tex> вставляет <tex>\#</tex> перед <tex>w</tex>, сдвигая все символы <tex>w</tex> на одну ячейку вправо, и <tex>\#S\#</tex> после <tex>w</tex>, так что содержимым ленты становится <Tex>\#w\#S\#</tex>.
Теперь <tex>Tm</tex> недетерминированно симулирует вывод <tex>G</tex>, начиная с <tex>S</tex>. Каждая сентенциальная форма вывода появляется по порядку между последними двумя <tex>\#</tex>. Если некоторый выбор переходов ведет к терминальной строке, она сравнивается с <tex>w</tex>. Если они совпадают, <tex>Tm</tex> допускает.
Формально, пусть <tex>Tm</tex> имеет на ленте <tex>\#w\#A_1A_2...A_k\#</tex>. <tex>Tm</tex> передвигает недетерминированно головку по <tex>A_1A_2...A_k</tex>, выбирая позицию <tex>i</tex> и константу <tex>r</tex> между <tex>1</tex> и максимальной длиной левой части любого правила вывода в <tex>P</tex>. Затем <tex>Tm</tex> проверяет подстроки <tex>A_iA_{i+1}...A_{i+r-1}</tex>. Если <tex>A_iA_{i+1}...A_{i+r-1}</tex> — левая часть некоторого правила вывода из <tex>P</tex>, она может быть заменена на правую часть. <tex>Tm</tex> может сдвинуть <tex>A_{i+r}A_{i+r+1}...A_k\#</tex> либо влево, либо вправо, освобождая или заполняя место, если правая часть имеет длину, отличную от <tex>r</tex>.
Из этой простой симуляции выводов в <tex>G</tex> видно, что <tex>Tm</tex> печатает на ленте строку вида <tex>\#w\#y\#</tex>, <tex>y \in V*</tex> в точности, если <tex>S \Rightarrow * y</tex>. Если <tex>y = w</tex>, <tex>Tm</tex> допускает <tex>L</tex>.
}}
|statement=
Язык распознается машиной Тьюринга тогда и только тогда, когда он генерируется формальной грамматикой
|proof=
<tex>\Rightarrow</tex> <br>
Пусть <tex>G = (N, \Sigma, P, S)</tex> — грамматика и <tex>L = L(G)</tex>. Опишем неформально недетерминированную машину Тьюринга <tex>Tm</tex>, допускающую <tex>L</tex>.<br>
<tex>Tm = (Q, \Sigma, \Gamma, D, q_0, F)</tex>, где <tex>\Gamma = T \cup \Sigma \cup \{B,\#,X\}</tex> и <tex>B,\#,X \notin N \cup \Sigma</tex><br>
Вначале <tex>Tm</tex> содержит на ленте <tex>w \in \Sigma*</tex>. <tex>Tm</tex> вставляет <tex>\#</tex> перед <tex>w</tex>, сдвигая все символы <tex>w</tex> на одну ячейку вправо, и <tex>\#S\#</tex> после <tex>w</tex>, так что содержимым ленты становится <Tex>\#w\#S\#</tex>.
Теперь <tex>Tm</tex> недетерминированно симулирует вывод <tex>G</tex>, начиная с <tex>S</tex>. Каждая сентенциальная форма вывода появляется по порядку между последними двумя <tex>\#</tex>. Если некоторый выбор переходов ведет к терминальной строке, она сравнивается с <tex>w</tex>. Если они совпадают, <tex>Tm</tex> допускает.
Формально, пусть <tex>Tm</tex> имеет на ленте <tex>\#w\#A_1A_2...A_k\#</tex>. <tex>Tm</tex> передвигает недетерминированно головку по <tex>A_1A_2...A_k</tex>, выбирая позицию <tex>i</tex> и константу <tex>r</tex> между <tex>1</tex> и максимальной длиной левой части любого правила вывода в <tex>P</tex>. Затем <tex>Tm</tex> проверяет подстроки <tex>A_iA_{i+1}...A_{i+r-1}</tex>. Если <tex>A_iA_{i+1}...A_{i+r-1}</tex> — левая часть некоторого правила вывода из <tex>P</tex>, она может быть заменена на правую часть. <tex>Tm</tex> может сдвинуть <tex>A_{i+r}A_{i+r+1}...A_k\#</tex> либо влево, либо вправо, освобождая или заполняя место, если правая часть имеет длину, отличную от <tex>r</tex>.
Из этой простой симуляции выводов в <tex>G</tex> видно, что <tex>Tm</tex> печатает на ленте строку вида <tex>\#w\#y\#</tex>, <tex>y \in V*</tex> в точности, если <tex>S \Rightarrow * y</tex>. Если <tex>y = w</tex>, <tex>Tm</tex> допускает <tex>L</tex>.
}}
